Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 61/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Von welchen ebenen Figuren und räumlichen Gebilden kennen Sie den Flächeninhalt bzw. das Volumen?
Was ist das Volumen (der Inhalt, das Maß) eines einzelnen Punktes im , im , im u.s.w.?
Es sei eine Menge und das Mengensystem auf , das aus allen endlichen Teilmengen von und deren Komplementen besteht. Zeige, dass eine Mengenalgebra ist.
Es sei eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge mit dem Durchschnitt als Multiplikation und der symmetrischen Differenz
als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.
Es sei eine Menge und ein Mengensystem auf . Zeige, dass genau dann eine Mengenalgebra ist, wenn es ein Unterring des Potenzmengenringes ist.
Es sei eine - Algebra auf einer Menge . Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.
- Es ist .
- Mit gehört auch zu .
- Für jede abzählbare Familie , ,
ist auch
Es sei eine Menge und seien Mengensysteme. Dabei sei in der von erzeugten - Algebra enthalten. Zeige
Es sei eine Menge und ein Mengensystem auf . Zeige, dass genau dann ein durchschnittsstabiles Dynkin-System ist, wenn eine - Algebra ist.
Es sei das Mengensystem auf , das aus allen Teilmengen besteht, die durch einen mathematischen Ausdruck beschreibbar sind. Zeige, dass eine Mengenalgebra, aber keine - Algebra ist.
Zeige, dass messbare Abbildungen zwischen Messräumen die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Die Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen ist messbar.
- Jede konstante Abbildung ist messbar.
- Die Identität ist messbar.
- Es seien und zwei - Algebren auf einer Menge . Dann ist die Identität auf genau dann -messbar, wenn gilt.
Es sei ein Messraum und es sei mit der ganzen Potenzmenge als - Algebra versehen. Es sei . Zeige, dass genau dann messbar ist, wenn die Indikatorfunktion
messbar ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Menge und das Mengensystem auf , das aus allen abzählbaren Teilmengen von und deren Komplementen besteht. Zeige, dass eine - Algebra ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine -elementige Menge und sei ein Teiler von . Zeige, dass die Menge der Teilmengen von , deren Elementanzahl ein Vielfaches von ist, ein Dynkin-System bilden, das bei keine Mengen-Algebra ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung.
a) Es sei eine - Algebra auf . Zeige, dass das Mengensystem
eine -Algebra auf ist.
b) Es sei eine - Algebra auf . Zeige, dass das Mengensystem
eine -Algebra auf ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Messraum und es sei eine Zerlegung von in abzählbar viele messbare Teilmengen. Es sei
eine Abbildung in einen weiteren Messraum . Zeige, dass genau dann messbar ist, wenn sämtliche Einschränkungen
messbar sind.
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und drei Punkte im . Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit dar.
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