Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 69/kontrolle
In diesem Arbeitsblatt geht es ausschließlich um das Lebesgue-Integral, es darf nicht mit dem Riemann-Integral argumentiert werden.
- Aufwärmaufgaben
Es seien und Mengen und es seien
Abbildungen. Zeige, dass für die Subgraphen die Beziehung
gilt.
Zeige, dass das Integral der Nullfunktion gleich ist.
Zeige, dass das Integral einer messbaren Funktion über einer Nullmenge gleich ist.
Es sei ein - endlicher Maßraum, sei eine integrierbare nichtnegative numerische Funktionen auf und . Zeige, dass auch integrierbar ist und dass
gilt.
Es sei eine abzählbare Menge, die mit dem Zählmaß versehen sei, und sei
eine Funktion. Zeige, dass genau dann integrierbar ist, wenn die Familie , , summierbar ist, und dass in diesem Fall das Integral gleich der Summe ist.
Es sei eine Menge und es sei eine Ausschöpfung von mit Teilmengen , . Zu jedem sei der Subgraph zur Indikatorfunktion . Zeige, dass die , , eine Ausschöpfung von bilden.
Wir betrachten die Funktion
Für welches ist die Tschebyschow-Abschätzung für diese Funktion am besten?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine kompakte Teilmenge und sei
eine stetige Funktion. Zeige, dass integrierbar ist. Man gebe auch eine Abschätzung für das Integral an.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Funktion
Für welches ist die Tschebyschow-Abschätzung für diese Funktion am besten? Bestimme numerisch bis auf Nachkommastellen.
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