Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 37

Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere die Bilder und die Graphen der folgenden Kurven im ${}\mathbb {R} ^{2}$.

1. ${}t\longmapsto {\left(t^{2},t^{2}\right)}$,
2. ${}t\longmapsto {\left(t^{2},-t^{2}\right)}$,
3. ${}t\longmapsto {\left(t^{2},t\right)}$,
4. ${}t\longmapsto {\left(2t,3t\right)}$,
5. ${}t\longmapsto {\left(t^{2},t^{3}\right)}$.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für verschiedene Kurven

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

deren Bilder (Bahnen) aber übereinstimmen.

Aufgabe

Wir fassen das Schreiben (Schreibschrift) eines Buchstabens (oder eines Wortes) als eine stetige Kurve im ${}\mathbb {R} ^{2}$ auf, die auf einem abgeschlossenen Intervall (oder auf einer disjunkten Vereinigung von solchen Intervallen) definiert ist.

1. In welcher Beziehung steht die Bahn eines Schreibweges und der Buchstabe?
2. Für welche Buchstaben ist das (zügige) Schreiben eine injektive Abbildung?
3. Für welche Buchstaben braucht man für das stetige Schreiben mehrere Definitionsintervalle?
4. Führe für verschiedene Buchstaben die zugehörigen Komponentenwege als zeitabhängigen Bewegungsvorgang auf ${}\mathbb {R}$ durch. Skizziere die Graphen dieser Komponentenfunktionen.
5. Versuche, die Graphen des Schreibvorganges eines Buchstabens zu skizzieren.
6. Kann man das Schreiben von Buchstaben differenzierbar realisieren? In welchen Punkten besitzt der Weg die Geschwindigkeit ${}0$?
7. Für welche Buchstaben gibt es eine einfache mathematische Beschreibung?

Aufgabe *

Beschreibe (ohne weitere Begründung) den Lauf des Sekundenzeigers einer Uhr als eine differenzierbare Kurve auf dem Einheitskreis (der Zeiger soll also im Zeitintervall ${}[0,60]$ eine Runde im Uhrzeigersinn drehen und zum Zeitpunkt ${}0$ „oben“ starten).

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto f(t)={\left(t^{2}-\sin t,e^{-t}+2t^{3},t\cdot \sinh t+{\frac {1}{t^{2}+1}}\right)},$

in jedem Punkt ${}t\in \mathbb {R}$.

Aufgabe *

Bestimme die Ableitung der Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto f(t)={\left(t\sin t,t^{3}e^{-t}\right)},$

in jedem Punkt ${}t\in \mathbb {R}$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Kurve

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left({\frac {\sin t^{2}}{t^{5}}},4^{t},{\frac {e^{-t}}{\sqrt {t}}}\right)},$

für jeden Punkt ${}t\in \mathbb {R} _{+}$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}v,w\in V$. Zeige, dass die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow V,\,t\longmapsto tv+w,$

differenzierbar ist mit der Ableitung ${}f'(t)=v$.

Aufgabe

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und ${}V$ ein euklidischer Vektorraum. Es seien

$f,g\colon I\longrightarrow V$

zwei in ${}t_{0}\in I$ differenzierbare Kurven und es sei

$h\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}t_{0}$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.

1. Die Summe

   $f+g\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto f(t)+g(t),$

   ist in ${}t_{0}$ differenzierbar mit

   ${}(f+g)'(t_{0})=f'(t_{0})+g'(t_{0})\,.$

2. Das Produkt

   $hf\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto h(t)f(t),$

   ist differenzierbar in ${}t_{0}$ mit

   ${}(hf)'(t_{0})=h(t_{0})f'(t_{0})+h'(t_{0})f(t_{0})\,.$

   Insbesondere ist für ${}c\in \mathbb {R}$ auch ${}cf$ differenzierbar in ${}t_{0}$ mit

   ${}(cf)'(t_{0})=cf'(t_{0})\,.$

3. Wenn ${}h$ nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion

   ${\frac {f}{h}}\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto {\frac {f(t)}{h(t)}},$

   in ${}t_{0}$ differenzierbar mit

   ${}{\left({\frac {f}{h}}\right)}'(t_{0})={\frac {h(t_{0})f'(t_{0})-h'(t_{0})f(t_{0})}{(h(t_{0}))^{2}}}\,.$

Aufgabe *

Es seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

differenzierbare Kurven. Berechne die Ableitung der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \left\langle f(t),g(t)\right\rangle .$

Formuliere das Ergebnis mit dem Skalarprodukt.

Aufgabe *

Es sei ${}h\colon I\rightarrow V$ eine zweimal differenzierbare Kurve in einem euklidischen Vektorraum ${}V$. Zeige, dass bei ${}h'(t)\neq 0$ die Gleichheit

${}\Vert {h'(t)}\Vert '={\frac {\left\langle h'(t),h^{\prime \prime }(t)\right\rangle }{\left\langle h'(t),h'(t)\right\rangle }}\Vert {h'(t)}\Vert \,$

gilt.

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktionen

$B_{0}(t)=(1-t)^{2},\,B_{1}(t)=2t(1-t){\text{ und }}B_{2}(t)=t^{2}.$

Es seien ${}v_{0},v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ drei Vektoren. Wir definieren die Kurve

${}f(t):=B_{0}(t)v_{0}+B_{1}(t)v_{1}+B_{2}(t)v_{2}\,.$

a) Berechne ${}f(0)$ und ${}f(1)$.

b) Berechne ${}f'(t)$.

c) Zeige, dass ${}f'(0)$ ein Vielfaches von ${}v_{1}-v_{0}$ und ${}f'(1)$ ein Vielfaches von ${}v_{2}-v_{1}$ ist.

d) Skizziere für ${}v_{0}=(0,1)$, ${}v_{1}=(1,1)$ und ${}v_{2}=(2,0)$ das Bild der Kurve ${}f(t)$ für ${}0\leq t\leq 1$.

Aufgabe

Das Bild der durch

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right),$

definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung ${}x^{3}=y^{2}$ erfüllt.

Kommentar:

Wir können durch Einsetzen direkt nachrechnen, dass die Bildpunkte der Kurve die beschreibende Gleichung ${}x^{3}=y^{2}$ erfüllen, denn es gilt ${}(t^{2})^{3}=t^{6}=(t^{3})^{2}$. Das bedeutet, dass jeder Bildpunkt in der Menge derjenigen Punkte enthalten ist, für die ${}x^{3}=y^{2}$ gilt.

Umgekehrt können wir sehen, dass auch jeder Punkt, für den ${}x^{3}=y^{2}$ gilt, auch ein Bildpunkt der Kurve ist. Dazu müssen wir zu vorgegebenem ${}(x,y)$ ein ${}t$ finden, sodass ${}t^{2}=x$ und ${}t^{3}=y$ gilt. Es bietet sich hier an, ${}t:=y^{\frac {1}{3}}$ zu definieren, weil das Ziehen der dritten Wurzel eine Bijektion auf ganz ${}\mathbb {R}$ ist. Nach Wahl von ${}t$ gilt also ${}t^{3}=y$ und wir können nachrechnen, dass auch ${}t^{2}=(y^{2})^{\frac {1}{3}}=(x^{3})^{\frac {1}{3}}$ gilt, wobei wir ausnutzen, dass ${}(x,y)$ auf der Kurve liegt.

Wir haben nun also gezeigt, das zwei zueinander äuqivalente Beschreibungen vorliegen: im ersten Fall als Bild einer parametrischen Darstellung (die vom Parameter ${}t$ abhängt), im zweiten als implizite Beschreibung (als die impliziten Lösungen einer Gleichung). In diesem Fall besteht die implizite Beschreibung sogar nur aus Polynomen, sodass die Kurve auch als algebraische Kurve bezeichnet wird. Dazu gibt es eine umfangreiche Theorie, die wir hier jedoch nicht im Detail behandeln.

 

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right).$

Bestimme die Punkte ${}t_{0}\in \mathbb {R}$, für die der Abstand der zugehörigen Kurvenpunkte ${}f(t)=\left(t^{2},\,t^{3}\right)$ zum Punkt ${}(1,0)$ minimal wird.

Aufgabe

Wir betrachten die Kurve

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2}-1,t^{3}-t).$

a) Zeige, dass die Bildpunkte ${}(x,y)$ der Kurve die Gleichung

${}y^{2}=x^{2}+x^{3}\,$

erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ mit ${}y^{2}=x^{2}+x^{3}$ zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte ${}t_{1}$ und ${}t_{2}$ mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine differenzierbare Kurve und ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Punkt. Es sei ${}t_{0}\in \mathbb {R}$ derart, dass der Abstand ${}d(P,f(t))$ (zwischen ${}P$ und einem Kurvenpunkt) in ${}t_{0}$ minimal werde. Zeige, dass ${}P-f(t_{0})$ senkrecht zu ${}f'(t_{0})$ ist.

Kommentar:

Die zu zeigende Aussage besagt, dass der Richtungsvektor der Kurve in Punkt ${}f(t_{0})$ orthogonal steht zur Richtung, die von ${}f(t_{0})$ zum Punkt ${}P$ zeigt, falls in ${}f(t_{0})$ der Abstand zu ${}P$ minimiert wird. Anschaulich ist dies naheliegend, weil andernfalls durch kleine Störung an ${}t$ ein Punkt auf der Kurve erreicht wird, der noch näher an ${}P$ liegt: Zum Beispiel sollte dies für ${}f(t+\epsilon )$ oder ${}f(t-\epsilon )$ der Fall sein, wenn ${}\epsilon >0$ eine sehr kleine positive Zahl ist.

Um nun die Aussage zu zeigen, können wir uns von zwei Seiten nähern. Wir betrachten zunächst die Schlussfolgerung. Die Aussage, dass die beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen, lässt sich formulieren als

$\langle P-f(t_{0}),f'(t_{0})\rangle =\sum _{i=1}^{n}(P_{i}-f_{i}(t_{0}))f_{i}'(t_{0})=0,$

da wir mit einem euklidischen Skalarprodukt arbeiten. Hierbei sollen ${}P_{i},f_{i}$ die Komponenten von ${}P$ bzw. ${}f_{i}$ bezüglich einer Orthogonalbasis, zum Beispiel der Standardbasis, bezeichnen.

Andererseits ist die Zuordnung ${}\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,t\mapsto d(P,f(t)),$ eine differenzierbare Funktion. Nach Satz 19.1 wissen wir, dass die Ableitung einer solchen Funktion in einem Minimum verschwindet. Es bleibt also die Ableitung von

$d(P,f(t))=\|P-f(t)\|=\left(\sum _{i=1}^{n}(P_{i}-f_{i}(t))^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$

im Punkt ${}t_{0}$ zu bestimmen. Dies ist eine gute Übung, um die Ableitungsregeln, insbesondere die Kettenregel, zu wiederholen. Dabei muss man das Summenzeichen wegen der Additionsregel nicht auflösen. Wie schließt man nun aus dem ermittelten Wert der Ableitung darauf, dass das zuvor berechnete Skalarprodukt Null wird? Dabei sollte man auch den Fall beachten, dass ${}P$ eventuell auf der Kurve liegt und somit ${}P-f(t_{0})=0$ ist.

 

Aufgabe

Betrachte die differenzierbare Kurve

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{3},\,e^{t}\right).$

Bestimme einen Kreis (mit Mittelpunkt und Radius) und eine Parametrisierung ${}\psi$ dieses Kreises derart, dass ${}\psi$ und ${}\varphi$ für ${}t=1$ bis zur zweiten Ableitung übereinstimmen.

Aufgabe

Es sei ${}G={\left\{(x,\vert {x}\vert )\mid x\in \mathbb {R} \right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ der Graph der reellen Betragsfunktion. Man gebe eine differenzierbare Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

an, deren Bild genau ${}G$ ist.

Kommentar:

Die Betragsfunktion selbst ist nicht differenzierbar, sondern hat einen Knick, sodass die Existenz einer differenzierbaren Kurve, deren Bild ${}G$ ist, auf den ersten Blick unintuitiv erscheinen mag. Die naheliegende Parametrisierung

$t\mapsto (t,|t|)$

ist offenbar nicht differenzierbar, weil die zweite Koordinatenfunktion keine differenzierbare Funktion ist.

Anschaulich lässt sich diese Aufgabe als die Beobachtung interpretieren, dass man mit einem Fahrzeug bei hoher Geschwindigkeit nicht durch eine sehr scharfe Kurve fahren kann. Bei niedriger Geschwindigkeit ist das aber kein Problem. Je langsamer man fährt, desto schärfer kann man abbiegen. In unserem Fall haben wir es mit einem rechtwinkligen Knick zu tun, was sich als Grenzfall auffassen lässt, bei dem wir die Geschwindigkeit im Knickpunkt auf Null reduzieren. Außerhalb des Knickpunkts muss die Geschwindigkeit aber größer als Null sein, damit wir uns überhaupt bewegen.

Eine geeignete Parametrisierung der Kurve ist ${}t\mapsto (t^{3},{|}t^{3}{|})$. Das Bild dieser Kurve ist genau ${}G$, weil ${}t\mapsto t^{3}$ eine Bijektion auf ${}\mathbb {R}$ ist. Die Differenzierbarkeit kann koordinatenweise gezeigt werden, zum Beispiel mit Hilfe von Aufgabe 18.29. Wie folgt das genau und was ist die Ableitung der Kurve? Ist sie tatsächlich Null für ${}t=0$?

 

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension ${}\geq 2$ und ${}v,w\in V$ Punkte mit

${}\Vert {v}\Vert =\Vert {w}\Vert \,.$

Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow V,\,t\longmapsto \gamma (t),$

mit ${}\gamma (0)=v$, ${}\gamma (1)=w$ und ${}\Vert {\gamma (t)}\Vert =\Vert {v}\Vert$ für alle ${}t\in [0,1]$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Punkt und sei ${}I={]{-1},1[}$. Wir betrachten die Menge

${}M={\left\{f:I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\mid f{\text{ differenzierbar}},\,f(0)=P\right\}}\,.$

Wir nennen zwei Kurven ${}f,g\in M$ tangential äquivalent, wenn

${}f'(0)=g'(0)\,$

ist.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Finde den einfachsten Vertreter für die Äquivalenzklassen.

c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.

d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen (also die Quotientenmenge).

Aufgabe

Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in \mathbb {R} ^{2}$ endlich viele Punkte und sei ${}M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$. Zeige, dass es zu je zwei Punkten ${}P,Q\in M$ eine differenzierbare Kurve

$\varphi \colon [0,1]\longrightarrow M$

mit ${}\varphi (0)=P$ und ${}\varphi (1)=Q$ gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Betrachte die Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,x\longmapsto \left(x^{2}-x,\,x^{3}+\sinh x,\,\sin(x^{2})\right).$

a) Bestimme die Ableitung von ${}f$ in jedem Punkt ${}x$.

b) Bestimme die Komponentenfunktionen von ${}f$ bezüglich der neuen Basis

$(1,0,3),(2,4,6),(1,-1,0)$

von ${}\mathbb {R} ^{3}$.

c) Berechne die Ableitung in der neuen Basis direkt und mit Hilfe von Lemma 37.8.

Aufgabe (3 Punkte)

Für welche Punkte ${}t\in \mathbb {R}$ ist der Abstand der Bildpunkte der Kurve

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (2\sin t,3\cos t),$

zum Nullpunkt ${}(0,0)$ maximal, für welche minimal?

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2},$

die einem Punkt ${}t\in \mathbb {R}$ den eindeutigen Schnittpunkt ${}\neq (0,-1)$ der durch die beiden Punkte ${}(t,1)$ und ${}(0,-1)$ gegebenen Geraden ${}G_{t}$ mit dem Einheitskreis

${}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass ${}f$ differenzierbar ist. Ist ${}f$ injektiv, ist ${}f$ surjektiv?

Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

Auf einem Jahrmarkt befindet sich ein „Doppel-Karussell“, bei dem sich ein Sitz alle ${}2$ Sekunden um einen kleinen Kreis mit Radius ${}3$ Meter dreht, wobei sich der Mittelpunkt dieses Kreises seinerseits alle ${}8$ Sekunden um einen großen Kreis mit Radius ${}10$ Meter dreht. Beide Drehungen sind im Uhrzeigersinn. Zum Zeitpunkt ${}t=0$ besitzt der Sitz zum Mittelpunkt den Abstand ${}13$ Meter.

a) Beschreibe diesen Bewegungsvorgang (in einem geeigneten Koordinatensystem) als eine differenzierbare Kurve.

b) Berechne den Geschwindigkeitsvektor dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.

c) Berechne die Geschwindigkeit (den Betrag des Geschwindigkeitsvektors) dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.

Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme in der Situation von Aufgabe 37.25 die Zeitpunkte, an denen die Geschwindigkeit maximal oder minimal wird.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe eine differenzierbare Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

an, deren Bild genau das Achsenkreuz ist.

Fußnoten