Kurs:Analysis 3/7/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	5	8	3	4	5	13	3	5	3	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die von einem Mengensystem ${}{\mathcal {E}}$ auf einer Menge ${}M$ erzeugte ${}\sigma$-Algebra ${}\sigma ({\mathcal {E}})$.
2. Das Zählmaß auf einer Menge ${}M$.
3. Ein translationsinvariantes Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$.
4. Eine ${}C^{1}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$.
5. Die Tangentialabbildung in einem Punkt ${}P\in M$ zu einer differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N,$

   wobei ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind.

6. Ein überdeckungskompakter topologischer Raum.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lemma von Fatou.
2. Der Satz von Heine-Borel.
3. Der Satz von Green für den Flächeninhalt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine Klorolle hat einen äußeren Durchmesser von ${}12$ cm und einen inneren Durchmesser von ${}4$ cm. Das ausgewickelte Klopapier ergibt eine Länge von ${}20$ Metern. Wie dick ist das Klopapier?

Aufgabe * (2 Punkte)

Auf der Menge der natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ sei ein Maß ${}\mu$ durch

${}\mu {\left(\{n\}\right)}=n\,$

gegeben. Bestimme

$\mu {\left(\{0,1,2,\ldots ,n\}\right)}.$

Aufgabe * (5 (1+3+1) Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und seien

$T_{1},T_{2},\ldots ,T_{n}\subseteq M$

Teilmengen (${}n\geq 1$). Wir betrachten die Menge ${}{\mathcal {A}}$, die aus allen Teilmengen von ${}M$ besteht, die man als Durchschnitte der Form

$S_{1}\cap \ldots \cap S_{k}$

erhalten kann, wobei die Menge ${}S_{i}$ jeweils ein ${}T_{j}$ oder ein ${}M\setminus T_{j}$ ist.

a) Zeige, dass man auf diese Art nur endlich viele Teilmengen von ${}M$ erhalten kann.

b) Zeige, dass es in ${}{\mathcal {A}}$ eindeutig bestimmte, nichtleere Mengen ${}A_{1},\ldots ,A_{m}$ mit

${}M=\biguplus _{\ell =1}^{m}A_{\ell }\,$

und mit der Eigenschaft, dass jedes ${}A\in {\mathcal {A}}$, ${}A\neq \emptyset$, ein ${}A_{\ell }$ umfasst gibt.

c) Zeige, dass man jede Menge ${}T_{j}$ als

${}T_{j}=\biguplus _{\ell \in L_{j}}^{m}A_{\ell }\,$

mit einer eindeutig bestimmten Teilmenge ${}L_{j}\subseteq \{1,\ldots ,m\}$ darstellen kann.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}\mu$ ein translationsinvariantes Maß auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$, das auf dem Einheitswürfel endlich sei. Es sei ${}U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein echter Untervektorraum. Zeige ${}\mu (U)=0$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

${}f(r,s,t)=rst+t\sin s\,$

über dem Einheitswürfel ${}W=[0,1]^{3}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks ${}Q=[-1,3]\times [0,2]$ unter der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3},y-x^{2}).$

Aufgabe * (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer zweidimensionalen zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ und einem Punkt ${}P\in M$ derart, dass ${}M$ und ${}M\setminus \{P\}$ zueinander diffeomorph sind.

Aufgabe * (13 (2+3+2+2+2+2) Punkte)

Wir betrachten den ${}\mathbb {R} ^{6}={\left(\mathbb {R} ^{2}\right)}^{3}$ als Menge aller (auch entarteter) Dreiecke, indem wir ein Dreieck mit den (geordneten) Eckpunkten ${}P_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}$, ${}P_{2}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}$ und ${}P_{3}={\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{pmatrix}}$, mit dem Koordinatentupel

$(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2},x_{3},y_{3})$

identifizieren.

1. Zeige, dass die Menge der Dreiecke, bei denen zwei Eckpunkte zusammenfallen, eine abgeschlossene Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{6}$ ist (das Komplement davon ist somit eine offene Menge in ${}\mathbb {R} ^{6}$, die wir ${}U$ nennen).
2. Zeige, dass die Menge der Dreiecke, bei denen alle drei Eckpunkte auf einer Geraden liegen, eine abgeschlossene Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{6}$ ist (das Komplement davon, das aus allen nichtentarteten Dreiecken besteht, ist somit eine offene Menge in ${}\mathbb {R} ^{6}$, die wir ${}V$ nennen).
3. Erstelle eine Funktionsvorschrift, die die Abbildung

   $F\colon \mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R}$

   beschreibt, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet.

4. Zeige, dass die Funktion ${}F$ aus Teil (3) auf der Menge ${}U$ stetig differenzierbar ist.
5. Berechne die partielle Ableitung von ${}F$ nach ${}x_{1}$ auf ${}U$.
6. Zeige, dass die Menge der nichtentarteten Dreiecke mit Umfang ${}1$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}V$ bildet. Was ist die Dimension?

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}x\\5\\7\end{pmatrix}}.$

a) Wie muss man ${}x$ wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des ${}\mathbb {R} ^{3}$ repräsentieren?

b) Wie muss man ${}x$ wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass der Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn man den Graphen

$\Gamma ={\left\{(x,e^{x})\mid x\leq 0\right\}}$

um die ${}x$-Achse rotieren lässt, kleiner als ${}10$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die äußere Ableitung ${}d\omega$ der ${}1$- Differentialform

${}\omega ={\frac {x^{2}}{y}}dx-{\frac {x}{y^{2}}}dy\,$

auf ${}U={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y\neq 0\right\}}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Zeige, dass jede offene Teilmenge ${}N\subseteq M$ ebenfalls eine Mannigfaltigkeit mit (eventuell leerem) Rand ist, und dass

${}\partial N=\partial M\cap N\,$

gilt.