Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 18


Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative - Algebra, ein - Modul und eine - Derivation. Zeige

für jedes .



Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative - Algebra, ein - Modul und eine - Derivation. Zeige

für .



Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative - Algebra, ein - Modul und eine - Derivation. Es sei . Zeige



Es sei eine kommutative - Algebra und ein - Modul. Zeige, dass die Menge der Derivationen von nach ein - Modul wird, wenn man durch

definiert.



Es sei eine kommutative - Algebra und ein multiplikatives System. Es sei eine - Derivation. Zeige, dass durch

eine Derivation auf der Nenneraufnahme gegeben ist, die fortsetzt.



Es sei eine kommutative - Algebra über einem kommutativen Ring . Zu bezeichne

die -lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei -linearen Abbildungen

bezeichne

Es sei eine - Derivation. Zeige, dass zu jedem die Abbildung eine Multiplikationsabbildung ist.



Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative - Algebra und der Modul der Kähler-Differentiale. Zeige, dass die universelle Derivation

eine Derivation ist.



Bestimme .



Es sei eine separable endliche Körpererweiterung. Zeige .



Bestimme .



Es sei ein kommutativer Ring und

mit einem Polynom (die Nullstellenmenge ist also der Graph zu ). Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass ein freier - Modul vom Rang ist.


Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf das Tensorprodukt von Moduln und von Algebren, siehe auch den Anhang.


Berechne .



Berechne das Tensorprodukt



Es sei ein kommutativer Ring. Zeige die - Modulisomorphie



Es sei ein kommutativer Ring und seien Ideale. Zeige die - Algebraisomorphie



Es sei ein kommutativer Ring und seien multiplikative Systeme. Zeige die - Algebraisomorphie



Es seien und kommutative Monoide und ein kommutativer Ring. Zeige die - Algebraisomorphie



Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Zeige



Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative - Algebra und ein multiplikatives System. Zeige, dass dann

gilt.



Diskutiere Lemma 18.8 im Fall, dass ein Körper der positiven Charakteristik , und ist.



Beschreibe für den Modul der Kähler-Differentiale mit Erzeugern und Relationen.



Bestimme mit Hilfe von Korollar 18.9.



Sei eine Primzahl. Wir betrachten die Körpererweiterung, die durch

mit gegeben ist. Zeige, dass Lemma 18.14 in dieser Situation nicht gilt.



Es sei eine Primzahl und

Zeige, dass ist, dass regulär ist und dass der Modul der Kähler-Differentiale nicht frei ist.



Sei . Zeige, dass der - Modul der Kählerdifferentiale

eingeschränkt auf die offenen Mengen (also etc.) frei ist und dass damit lokal frei ist.



<< | Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)