Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 18
Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative - Algebra, ein - Modul und eine - Derivation. Zeige
für jedes .
Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative - Algebra, ein - Modul und eine - Derivation. Zeige
für .
Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative - Algebra, ein - Modul und eine - Derivation. Es sei . Zeige
Es sei eine kommutative - Algebra und ein - Modul. Zeige, dass die Menge der Derivationen von nach ein - Modul wird, wenn man durch
definiert.
Es sei eine kommutative - Algebra und ein multiplikatives System. Es sei eine - Derivation. Zeige, dass durch
eine Derivation auf der Nenneraufnahme gegeben ist, die fortsetzt.
Es sei eine kommutative - Algebra über einem kommutativen Ring . Zu bezeichne
die -lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei -linearen Abbildungen
bezeichne
Es sei eine - Derivation. Zeige, dass zu jedem die Abbildung eine Multiplikationsabbildung ist.
Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative - Algebra und der Modul der Kähler-Differentiale. Zeige, dass die universelle Derivation
eine Derivation ist.
Bestimme .
Es sei eine separable endliche Körpererweiterung. Zeige .
Bestimme .
Es sei ein kommutativer Ring und
mit einem Polynom (die Nullstellenmenge ist also der Graph zu ). Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass ein freier - Modul vom Rang ist.
Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf das Tensorprodukt von Moduln und von Algebren, siehe auch den Anhang.
Berechne .
Berechne das Tensorprodukt
Es sei ein kommutativer Ring. Zeige die - Modulisomorphie
Es sei ein kommutativer Ring und seien Ideale. Zeige die - Algebraisomorphie
Es sei ein kommutativer Ring und seien multiplikative Systeme. Zeige die - Algebraisomorphie
Es seien und kommutative Monoide und ein kommutativer Ring. Zeige die - Algebraisomorphie
Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Zeige
Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative - Algebra und ein multiplikatives System. Zeige, dass dann
gilt.
Diskutiere Lemma 18.8 im Fall, dass ein Körper der positiven Charakteristik , und ist.
Beschreibe für den Modul der Kähler-Differentiale mit Erzeugern und Relationen.
Bestimme mit Hilfe von Korollar 18.9.
Sei eine Primzahl. Wir betrachten die Körpererweiterung, die durch
mit gegeben ist. Zeige, dass Lemma 18.14 in dieser Situation nicht gilt.
Es sei eine Primzahl und
Zeige, dass ist, dass regulär ist und dass der Modul der Kähler-Differentiale nicht frei ist.
Sei . Zeige, dass der - Modul der Kählerdifferentiale
eingeschränkt auf die offenen Mengen (also etc.) frei ist und dass damit lokal frei ist.
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