Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 19

Aufgabe

Zeige, dass zu ${}R=K[X,Y]/(XY)$ der Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R{|}K}$ im Nullpunkt nicht frei ist.

Aufgabe

Zeige, dass es ein glattes Schema von endlichem Typ über einem Körper gibt, bei dem der Rang des Moduls der Kähler-Differentiale nicht konstant ist.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$ - Algebra. ${}M$ ein ${}A$ - Modul und ${}\delta \colon A\rightarrow M$ eine ${}R$ - Derivation. Zeige, dass auf jeder offenen Menge ${}U\subseteq \operatorname {Spek} {\left(A\right)}$ eine ${}R$ -Derivation

\delta _{U}\colon \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{U}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)}

existiert, die mit ${}\delta$ kommutiert.

Betrachte zuerst die offenen Mengen ${}D(f)$ .

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein integres Schema über einem integren Basisschema ${}S$ . Zeige, dass eine auf einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ definierte ${}p^{-1}{\mathcal {O}}_{S}$ - Derivation ${}\delta \colon {\mathcal {O}}_{U}\rightarrow {\mathcal {O}}_{U}$ eine ${}Q(S)$ -Derivation

Q(X)\longrightarrow Q(X)

definiert.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein Schema von endlichem Typ über einem Basisschema ${}S$ . Zeige, dass ${}\Omega _{X{|}S}$ ein kohärenter ${}{\mathcal {O}}_{X}$ - Modul ist.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon X\rightarrow S$ ein Schema über dem Schema ${}S$ . Zeige, dass die Garbe der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{X{|}S}$ auf ${}X$ die Vergarbung der Prägarbe

U\longmapsto \operatorname {colim} _{V\subseteq S{\text{ offen}},\,U\subseteq p^{-1}(V)}\,\Omega _{\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}{|}\Gamma {\left(V,{\mathcal {O}}_{S}\right)}}

ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{{\mathbb {P} }_{R}^{1}{|}R}$ auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{R}^{1}$ über einem kommutativen Ring ${}R$ isomorph zur getwisteten Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{1}}(-2)$ ist.

Aufgabe

Betrachte die Tangentialgarbe ${}{\mathcal {T}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{1},R}$ auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{R}^{1}$ über einem kommutativen Ring ${}R$ mit der Isomorphie

{}{\mathcal {T}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{1},R}\cong {\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{1}}(2)\,.

Bestimme die globalen Schnitte von ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{1}}(2)$ , die den globalen Derivationen ${}X{\frac {\partial }{\partial X}}$ , ${}Y{\frac {\partial }{\partial X}}$ , ${}X{\frac {\partial }{\partial Y}}$ , ${}Y{\frac {\partial }{\partial Y}}$ entsprechen.

Aufgabe

Bestimme auf der projektiven Ebene ${}{\mathbb {P} }_{K}^{2}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y,Z]\right)}$ die Ableitung ${}Y{\frac {\partial f}{\partial X}}$ zur rationalen Funktion ${}f={\frac {XY-YZ+3Z^{2}-X^{2}}{4X^{2}-YZ}}$ . Auf welcher offenen Teilmenge sind ${}f$ und ${}Y{\frac {\partial f}{\partial X}}$ definiert?

Aufgabe *

Wie betrachten die Kurve

{}C=V_{+}(X^{3}+Y^{3}+Z^{3})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,

über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 3$ . Zeige, dass die Differentialformen

{\frac {X^{2}}{Y^{2}}}d{\frac {Z}{X}}{\text{ auf }}D_{+}(XY),\,{\frac {Y^{2}}{Z^{2}}}d{\frac {X}{Y}}{\text{ auf }}D_{+}(YZ){\text{ und }}{\frac {Z^{2}}{X^{2}}}d{\frac {Y}{Z}}{\text{ auf }}D_{+}(XZ),\,

auf den Durchschnitten übereinstimmen und daher eine nichttriviale Differentialform auf der Kurve ${}C$ definieren.

Aufgabe

Drücke die Einschränkungen der globalen Derivationen ${}X_{i}{\frac {\partial }{\partial X_{j}}}$ des projektiven Raumes ${}{\mathbb {P} }_{R}^{n}=\operatorname {Proj} {\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}$ auf die offene Teilmenge

{}D_{+}(X_{0})=\operatorname {Spek} {\left(R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{n}\,

(mit ${}Y_{k}={\frac {X_{k}}{X_{0}}}$ ) als Linearkombinationen der Form ${}\sum _{k=1}^{n}g_{k}{\frac {\partial }{\partial Y_{k}}}$ mit ${}g_{k}\in R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ aus.