Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 18

Der Modul der Kähler-Differentiale

Auf einer Mannigfaltigkeit ${}M$ gibt es das Tangentialbündel ${}TM\rightarrow M$, das zu einem Punkt ${}P\in M$ aus dem Tangentialraum ${}T_{P}M$ besteht, der durch Äquivalenzklassen von differenzierbaren Kurven

$[-\epsilon ,\epsilon ]\longrightarrow M$

durch ${}P$ gegeben ist. Das Tangentialbündel ist ein reelles Vektorbündel auf ${}M$, das charakteristisch für die Mannigfaltigkeit ist und mit dessen Hilfe man viele Invarianten für die Mannigfaltigkeit definieren kann. Wir wollen ein entsprechendes Objekt für ein Schema (sagen wir vom endlichen Typ über einem Körper) definieren. Eine unmittelbare Übertragung des analytischen Konzeptes ist nicht möglich, da es keinen direkten Ersatz für die differenzierbaren Kurven gibt. Wir orientieren und daher an einem anderen Gesichtspunkt des Tangentialbündels. Einen (stetigen oder differenzierbaren) Schnitt im Tangentialbündel (über einer offenen Menge ${}U\subseteq M$) nennt man ein (stetiges oder differenzierbares) Vektorfeld. Ein Vektorfeld ${}F$ ordnet jedem Punkt ${}P\in U$ einen Tangentialvektor ${}F(P)=T_{P}M$ zu. Man kann nun differenzierbare Funktionen auf ${}M$ entlang eines Vektorfeldes ${}F$ ableiten und erhält dabei wieder eine Funktion. Dazu setzt man

${}(D_{F}(f))(P):=(D_{F(P)}f)(P)\,,$

wobei die Richtungsableitung ${}(D_{F(P)}f)(P)$ von ${}f$ in Richtung ${}F(P)$ in ${}P$ bezeichnet. Diese Richtungsableitung kann man auf jeder Karte ausrechnen, das Ergebnis ist wegen der Kettenregel unabhängig von der gewählten Karte. Wenn ${}M$ unendlich oft differenzierbar ist, so ergibt dies eine Abbildung

$D_{F}\colon C^{\infty }(U,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{\infty }(U,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto D_{F}(f).$

Diese Abbildung ist eine ${}\mathbb {R}$-lineare Derivation im Sinne der folgenden rein algebraischen Definition. Wir werden aufbauend auf Derivationen den Modul der Kähler-Differentiale einführen und daraus dual ein Tangentialgarbe im schematheoretischen Kontext entwickeln, die ferner lokal frei ist, wenn das Schema keine Singularitäten besitzt. In dieser Vorlesung betrachten wir die affine Situation und verzichten auf Beweise.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und ${}M$ ein ${}A$- Modul. Dann heißt eine ${}R$- lineare Abbildung

$\delta \colon A\longrightarrow M$

mit

${}\delta (ab)=a\delta (b)+b\delta (a)\,$

für alle ${}a,b\in A$ eine ${}R$-Derivation (mit Werten in ${}M$).

Die dabei verwendete Regel nennt man Leibniz-Regel. Oft ist ${}M=A$. Für den Polynomring ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ sind beispielsweise die ${}i$-ten (formalen) partiellen Ableitungen

${\frac {\partial }{\partial X_{i}}}$

${}R$-Derivationen von ${}A$ nach ${}A$. Die Menge der Derivationen von ${}A$ nach ${}M$ ist in natürlicher Weise ein ${}A$- Modul. Er wird mit ${}\operatorname {Der} _{R}{\left(A,M\right)}$ bezeichnet.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra. Der von allen Symbolen ${}d(a)$, ${}a\in A$, erzeugte ${}A$- Modul, modulo den Identifizierungen

$d(ab)=ad(b)+bd(a){\text{ für alle }}a,b\in A$

und

$d(ra+sb)=rd(a)+sd(b){\text{ für alle }}r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A,$

heißt Modul der Kähler-Differentiale von ${}A$ über ${}R$. Er wird mit

$\Omega _{A{|}R}$

bezeichnet.

Bei dieser Konstruktion startet man also mit dem freien ${}A$-Modul ${}F$ mit ${}da$, ${}a\in A$ als Basis und bildet den ${}A$- Restklassenmodul zu demjenigen Untermodul, der von den Elementen

$d(ab)-ad(b)-bd(a)\,(a,b\in A)$

und

$d(ra+sb)-rd(a)-sd(b)\,(r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A)$

erzeugt wird. Die Abbildung

$d\colon A\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,a\longmapsto d(a)=da,$

heißt die universelle Derivation. Man prüft sofort nach, dass es sich um eine ${}R$- Derivation handelt. Die Elemente in ${}\Omega _{A{|}R}$ heißen (algebraische) Differentialformen.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra. Dann besitzt der ${}A$- Modul ${}\Omega _{A{|}R}$ der Kähler-Differentiale die folgende universelle Eigenschaft.

Zu jedem ${}A$-Modul ${}M$ und jeder ${}R$- Derivation

$\delta \colon A\longrightarrow M$

gibt es eine eindeutig bestimmte ${}A$- lineare Abbildung

$\epsilon \colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow M$

mit ${}\epsilon \circ d=\delta$.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Für jedes ${}da$, ${}a\in A$, muss ${}\epsilon (da)=\delta (a)$ sein. Da die ${}da$ ein ${}A$- Modul-Erzeugendensystem von ${}\Omega _{A{|}R}$ bilden, kann es maximal nur einen solchen Homomorphismus geben.
Es sei ${}F$ der freie Modul zur Basis ${}da$, ${}a\in A$. Die Zuordnung ${}{\tilde {\epsilon }}(da)=\delta (a)$ legt nach dem Festlegungssatz einen ${}A$- Modulhomomorphismus

${\tilde {\epsilon }}\colon F\longrightarrow M$

fest. Es ist ${}\Omega _{A{|}R}=F/U$, wobei ${}U$ der von den Elementen erzeugte Untermodul ist, die die Leibnizregel und die Linearität ausdrücken. Da ${}\delta$ eine Derivation ist, wird ${}U$ unter ${}{\tilde {\epsilon }}$ auf ${}0$ abgebildet. Daher gibt es nach dem Homomorphiesatz eine eindeutige ${}A$-lineare Abbildung

$\epsilon \colon \Omega _{A{|}R}\cong F/U\longrightarrow M$

mit

${}\epsilon (da)={\tilde {\epsilon }}(da)=\delta (a)\,.$

$\Box$

 

Diese Aussage kann man auch so ausdrücken, dass eine natürliche ${}A$- Modulisomorphie

${}\operatorname {Der} _{R}{\left(A,M\right)}\cong \operatorname {Hom} _{A}{\left(\Omega _{A{|}R},M\right)}\,$

vorliegt. Insbesondere ist

${}\operatorname {Der} _{R}{\left(A,A\right)}\cong \operatorname {Hom} _{A}{\left(\Omega _{A{|}R},A\right)}={\Omega _{A{|}R}}^{*}\,,$

wobei rechts der Dualmodul genommen wird.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und ${}\Omega _{A{|}R}$ der Modul der Kähler-Differentiale. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}dr=0$ für alle ${}r\in R$.
2. Man kann

   $\Omega _{A{|}R}$

   als den Restklassenmodul des freien ${}A$-Moduls zur Basis ${}da$, ${}a\in A$, modulo dem Untermodul, der von den Leibnizrelationen und von ${}dr$, ${}r\in R$, erzeugt wird, beschreiben.

3. Bei ${}A=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ist ${}dx_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, ein ${}A$- Modulerzeugendensystem von ${}\Omega _{A{|}R}$.
4. Sei ${}A=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$. Für ein Polynom ${}F\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und das zugehörige Element ${}f=F{\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}\in A$ gilt in ${}\Omega _{A{|}R}$ die Beziehung

   ${}df={\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial F}{\partial x_{n}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{n}\,,$

   wobei ${}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}$ die ${}i$-te partielle Derivation bezeichnet.

5. Zu einem kommutativen Diagramm

   ${\begin{matrix}R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&S&\\\downarrow &&\downarrow &\\A&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&B&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

   wobei die Pfeile Ringhomomorphismen repräsentieren, gibt es eine eindeutig bestimmte ${}A$- lineare Abbildung

   $\Omega _{A{|}R}\longrightarrow \Omega _{B{|}S},\,da\longmapsto d\varphi (a).$

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

1. Es sei ${}r\in R$. Wegen der ${}R$-Linearität ist ${}d(r1)=rd(1)$. Wegen der Produktregel ist

   ${}d(1)=d(1\cdot 1)=1d(1)+1d(1)\,,$

   sodass durch Subtraktion ${}d(1)=0$ folgt.

2. Wir zeigen, dass der in Frage stehende Untermodul ${}V$ mit dem Untermodul ${}U$ übereinstimmt, der von allen Leibnizrelationen und von den Linearitätsrelationen erzeugt wird. Nach Teil (1) ist die Inklusion ${}V\subseteq U$ klar. Für ${}a,b\in A$ und ${}r,s\in R$ gilt modulo ${}V$ die Gleichheit

   ${}d(ra+sb)=d(ra)+d(sb)=rda+adr+sdb+bds=rda+sdb\,,$

   sodass also auch die Linearitätsrelationen zu ${}V$ gehören.

3. Dies folgt aus der Linearität und der Leibnizregel.
4. Beide Seiten sind ${}R$-linear, sodass es genügt, die Aussage für Monome zu zeigen. Für Monome beweist man die Aussage durch Induktion über den Gesamtgrad des Monoms.
5. Da ${}B$ über ${}\varphi \colon A\rightarrow B$ eine ${}A$-Algebra ist, ist auch ${}\Omega _{B{|}S}$ ein ${}A$-Modul. Die Verknüpfung

   $A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}B{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{B{|}S}$

   ist eine ${}R$- Derivation, wie man unmittelbar nachrechnet. Aufgrund der universellen Eigenschaft von ${}\Omega _{A{|}R}$ gibt es eine eindeutig bestimmte ${}A$- lineare Abbildung

   ${\tilde {\varphi }}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow \Omega _{B{|}S}$

   mit ${}d\varphi (a)={\tilde {\varphi }}(da)$.

$\Box$

 

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen über ${}R$.

Dann ist der Modul der Kähler-Differentiale der freie ${}A$- Modul zur Basis

$dX_{1},dX_{2},\ldots ,dX_{n}.$

Die universelle Derivation ist bezüglich dieser Basis durch

$A\longrightarrow AdX_{1}\oplus \cdots \oplus AdX_{n},\,F\longmapsto dF={\frac {\partial F}{\partial X_{1}}}dX_{1}+\cdots +{\frac {\partial F}{\partial X_{n}}}dX_{n},$

gegeben.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Es sei ${}G$ der von den Symbolen ${}dX_{i}$ erzeugte freie ${}A$- Modul. Die Abbildung

$\varphi \colon G\longrightarrow \Omega _{A{|}R},$

die das Basiselement ${}dX_{i}$ auf das Differential ${}dX_{i}$ schickt, ist nach Lemma 18.4  (3) surjektiv. Die ${}i$-te partielle Ableitung

${\frac {\partial }{\partial X_{i}}}\colon A\longrightarrow A,\,F\longmapsto {\frac {\partial F}{\partial X_{i}}},$

ist eine ${}R$- Derivation, sodass es aufgrund der universellen Eigenschaft des Moduls der Differentialformen eine ${}A$- lineare Abbildung

$p_{i}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow A$

mit ${}p_{i}\circ d={\frac {\partial }{\partial X_{i}}}$ gibt. Dabei ist ${}p_{i}(dX_{i})=1$ und ${}p_{i}(dX_{j})=0$ für ${}j\neq i$. Diese Abbildungen ergeben zusammen eine ${}A$-lineare Abbildung

$p=p_{1}\times \cdots \times p_{n}\colon \Omega _{A{|}R}\longrightarrow A^{n}\cong G,$

für die ${}p\circ \varphi =\operatorname {Id} _{G}$ gilt. Daher ist ${}\varphi$ auch injektiv.

$\Box$

 

Im Allgemeinen ist der Modul der Kähler-Differentiale nicht frei.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und ${}S\subseteq A$ ein multiplikatives System.

Dann ist

${}\Omega _{A_{S}{|}R}\cong {\left(\Omega _{A{|}R}\right)}_{S}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 18.19.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es seien ${}A$ und ${}B$ kommutative ${}R$- Algebren und

$\varphi \colon A\longrightarrow B$

ein ${}R$- Algebrahomomorphismus.

Dann ist die Sequenz

$\Omega _{A{|}R}\otimes _{A}B\longrightarrow \Omega _{B{|}R}\longrightarrow \Omega _{B{|}A}\longrightarrow 0$

von ${}B$-Moduln exakt.

Dabei geht ${}da\otimes b$ auf ${}bd\varphi (a)$ und ${}db$ (in ${}\Omega _{B{|}R}$) auf ${}db$ (in ${}\Omega _{B{|}A}$).

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Die Surjektivität rechts ist klar. Zur Exaktheit an der zweiten Stelle verwenden wir die Beschreibung aus Lemma 18.4  (2). Die beiden Moduln ${}\Omega _{B{|}A}$ und ${}\Omega _{B{|}R}$ besitzen das gleiche Erzeugendensystem und auch die Leibnizrelationen sind für beide gleich. Der Modul ${}\Omega _{B{|}A}$ ergibt sich aus ${}\Omega _{B{|}R}$ gerade dadurch, dass man den von den ${}da$, ${}a\in A$, erzeugten ${}B$-Untermodul zu ${}0$ macht. Dieser Untermodul ist genau das Bild der Abbildung links.

$\Box$

 

Kähler-Differentiale und Jacobi-Matrix

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, es sei ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und ${}I\subseteq A$ ein Ideal mit dem Restklassenring ${}B=A/I$.

Dann ist die Sequenz

$I/I^{2}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}B\longrightarrow \Omega _{B{|}R}\longrightarrow 0$

von ${}B$-Moduln exakt.

Dabei geht ${}a\in I$ auf ${}da\otimes 1$ und ${}da\otimes b$ auf ${}bda$.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Die ${}R$-lineare Abbildung

$A\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,a\longmapsto da,$

kann man auf das Ideal ${}I\subseteq A$ einschränken. Durch Tensorieren mit ${}A/I$ erhält man unter Verwendung von Proposition 16.9 (Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013))  (2) die ${}A/I$-lineare Abbildung

$I/I^{2}\cong I\otimes _{A}A/I\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}A/I.$

Die Surjektivität der Abbildung rechts ist klar, da der ${}B$- Modul ${}\Omega _{B{|}R}$ von den ${}db$, ${}b\in B$, erzeugt wird und diese von ${}da$, ${}a\in A$ herrühren. Ein Element ${}a\in I$ geht auf ${}da$ und damit auf ${}0$ in ${}\Omega _{B{|}R}$, da das Element ${}a$ in ${}B$ selbst ${}0$ wird.

Es sei nun

${}\omega \in \Omega _{A{|}R}\otimes _{A}B\,$

ein Element, das in ${}\Omega _{B{|}R}$ auf ${}0$ abbildet. Wir können

${}\omega =\sum _{i=1}^{n}da_{i}\otimes b_{i}=\sum _{i=1}^{n}da_{i}\otimes {\overline {c}}_{i}\,$

mit ${}a_{i},c_{i}\in A$ schreiben. Da es auf ${}0$ in ${}\Omega _{B{|}R}$ abbildet, gilt in dem von den Symbolden ${}db$, ${}b\in B$, erzeugten freien ${}B$- Modul die Beziehung

${}\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}=\sum _{j=1}^{m}h_{j}\omega _{j}\,,$

wobei ${}h_{j}\in B$ und die ${}\omega _{j}$ Erzeuger der Relationen für den Modul der Kähler-Differentiale ist, also gleich ${}dfg=fdg+gdf$ mit ${}f,g\in B$ oder gleich ${}d(rf+sg)=rdf+sdg$ mit ${}r,s\in R$ und ${}f,g\in B$ ist. Der angesprochene freie ${}B$-Modul entsteht aus dem durch die ${}da$, ${}a\in A$, erzeugten freien ${}A$-Modul einfach dadurch, dass man die Koeffizienten aus ${}I$ und die ${}dI$ zu ${}0$ macht. Somit gilt in diesem freien ${}A$-Modul

${}\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}-\sum _{j=1}^{m}h_{j}\omega _{j}=\sum _{k=1}^{\ell }m_{k}dn_{k}+du\,$

mit ${}m_{k}\in I$, ${}n_{k}\in B$ und ${}u\in I$. In ${}\Omega _{A{|}R}\otimes _{R}B$ wird ${}\sum _{k=1}^{\ell }m_{k}dn_{k}$ wegen der Tensorierung zu ${}0$ und daher gilt dort in der Tat

${}\sum _{i=1}^{n}c_{i}da_{i}=du\,.$

$\Box$

 

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei ${}A$ eine kommutative endlich erzeugte ${}R$- Algebra, die als

${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})\,$

gegeben sei.

Dann ist

${}\Omega _{A{|}R}=\bigoplus _{i=1}^{n}AdX_{i}/(dF_{1},\ldots ,dF_{k})\,.$

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Dies folgt aus Lemma 18.5 und Lemma 18.8.

$\Box$

 

Bemerkung  

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es sei ${}A$ eine kommutative endlich erzeugte ${}R$- Algebra, die als ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F_{1},\ldots ,F_{k})$ gegeben sei. Dann ist nach Lemma 18.4  (4)

${}dF_{j}={\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{1}}}dX_{1}+\cdots +{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{n}}}dX_{n}\,$

und nach Korollar 18.9 gibt es eine exakte Sequenz

$A^{k}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}A^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}R}\longrightarrow 0,$

wobei

${}M={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{k}}{\partial X_{1}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{1}}{\partial X_{n}}}&\ldots &{\frac {\partial F_{k}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}\,$

die transponierte Jacobi-Matrix (ohne Auswertung an einem Punkt) ist. Die Standardvektoren ${}e_{j}$ werden auf ${}dX_{j}$ abgebildet und die Spaltenvektoren ${}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial F_{j}}{\partial X_{n}}}\end{pmatrix}}$, die die Nullelemente ${}dF_{j}$ repräsentieren, sind die Bilder der durch die Matrix gegebenen Abbildung.

Glattheit und Regularität

Definition

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F_{1},\ldots ,F_{s}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome mit der zugehörigen affin-algebraischen Menge

${}Y=V(F_{1},\ldots ,F_{s})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.$

Es sei ${}P\in Y$ ein Punkt von ${}Y$ mit der Eigenschaft, dass ${}Y$ im Punkt ${}P$ die Dimension ${}d$ besitze. Dann heißt ${}P$ ein glatter Punkt von ${}Y$, wenn der Rang der Matrix

${\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial X_{j}}}\right)}_{i,j}$

im Punkt ${}P$ mindestens ${}n-d$ ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.

Zu einer ${}K$- Algebra

${}A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\,$

und einem Punkt ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})$ mit zugehörigem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}\subseteq A$ und Lokalisierung

${}R=A_{{\mathfrak {m}}_{P}}={\mathcal {O}}_{V,P}\,$

ist

${}\Omega _{R{|}K}=\Omega _{A{|}K}\otimes _{A}R\,,$

und die Tensorierung

${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}K=\Omega _{A{|}K}\otimes _{A}K\,$

zur Restekörperauswertung

$A\longrightarrow A_{\mathfrak {m}}\longrightarrow A_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}A_{\mathfrak {m}}=K$

spielt eine besondere Rolle. Es ergibt sich ein direkter Zusammenhang zum Dualraum des extrinsischen Tangentialraumes von ${}V$ an ${}P$. Das bedeutet, dass ${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}K$ in natürlicher Weise der Kotangentialraum im Punkt ${}P$ ist.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper,

${}A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\,$

eine endlich erzeugte ${}K$- Algebra und ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})$ ein Punkt des zugehörigen Nullstellengebildes mit zugehörigem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}_{P}\subseteq A$ und Lokalisierung

${}R=A_{\mathfrak {m}}\,.$

Dann ist der Tangentialraum zu ${}V$ in ${}P$ in kanonischer Weise der duale Vektorraum zu ${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}K$.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Nach Bemerkung 17.10 gibt es eine exakte Sequenz

$A^{m}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}A^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}K}\longrightarrow 0,$

wobei ${}M$ die transponierte Jacobi-Matrix zu den ${}f_{i}$ ist. Wir tensorieren mit dem Restekörper ${}K$ und erhalten eine exakte Sequenz

$K^{m}{\stackrel {M(P)}{\longrightarrow }}K^{n}\longrightarrow \Omega _{A{|}K}\otimes _{A}K\longrightarrow 0$

von endlichdimensionalen ${}K$- Vektorräumen. Die duale Sequenz dazu ist

$0\longrightarrow {\left(\Omega _{A{|}K}\otimes _{A}K\right)}^{*}\longrightarrow K^{n}{\stackrel {\operatorname {Jac} (P)}{\longrightarrow }}K^{m}$

und ebenfalls exakt. Nach Definition ***** ist aber der Kern der Jacobi-Matrix im Punkt ${}P$ der Tangentialraum an ${}V$ in ${}P$.

$\Box$

 

Definition

Ein noetherscher lokaler Ring ${}(R,{\mathfrak {m}})$ der Dimension ${}n$ heißt regulär, wenn es ${}n$ Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$ gibt, die das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ erzeugen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine lokale kommutative ${}K$- Algebra und es sei die Gesamtabbildung

$K\longrightarrow R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}$

ein Isomorphismus.

Dann ist die Abbildung

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow \Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}},\,[f]\longmapsto df\otimes 1,$

ein ${}R/{\mathfrak {m}}$- Modulisomorphismus.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Nach Lemma 18.8 liegt eine exakte Sequenz

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow \Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow \Omega _{R/{\mathfrak {m}}{|}K}\longrightarrow 0$

von ${}R/{\mathfrak {m}}$- Modulhomomorphismen vor. Nach Voraussetzung ist ${}R/{\mathfrak {m}}=K$ und daher ${}\Omega _{R/{\mathfrak {m}}{|}K}=0$. Somit ist die angegebene Abbildung surjektiv. Zum Nachweis der Injektivität betrachten wir die ${}R/{\mathfrak {m}}$- duale Abbildung, also die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{R/{\mathfrak {m}}}{\left(\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}},R/{\mathfrak {m}}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R/{\mathfrak {m}}}{\left({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2},R/{\mathfrak {m}}\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi \circ d,$

und müssen zeigen, dass diese surjektiv ist (es geht um Vektorräume).

Der linke Homomorphismenmodul ist nach Fakt ***** und Lemma 18.3 isomorph zu

${}\operatorname {Hom} _{R}{\left(\Omega _{R{|}K},R/{\mathfrak {m}}\right)}\cong \operatorname {Der} _{K}{\left(R,R/{\mathfrak {m}}\right)}\,.$

Die Gesamtabbildung ordnet einer ${}K$-Derivation ${}\delta \colon R\rightarrow R/{\mathfrak {m}}$ die Abbildung

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}},\,[f]\longmapsto \delta (f),$

zu. Es sei nun

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}},\,[f]\longmapsto \epsilon (f),$

ein ${}R/{\mathfrak {m}}$-Modulhomomorphismus. Wir müssen zeigen, dass dies von einer Derivation herkommt. Dazu betrachten wir die Abbildung

$\delta \colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}},\,f\longmapsto \epsilon (f-{\overline {f}}),$

wobei ${}{\overline {f}}$ den Wert von ${}f$ im Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}$ bezeichnet, den man über die Identifizierung ${}K=R/{\mathfrak {m}}$ wieder in ${}R$ auffasst. Somit gehört ${}f-{\overline {f}}\in {\mathfrak {m}}$ und die Abbildung ist wohldefiniert. Eine direkte Verifizierung ähnlich zum Beweis zu Fakt ***** zeigt, dass es sich um eine Derivation handelt. Diese bildet auf ${}\epsilon$ ab.

$\Box$

 

Ohne die Voraussetzung, dass die natürliche Abbildung zwischen dem Grundkörper und dem Restklassenkörper ein Isomorphismus ist, gilt diese Aussage nicht, siehe Aufgabe 18.23.

Bemerkung  

In der Situation von Lemma 18.12 kann man direkt eine Beziehung zwischen dem (extrinsischen) Tangentialraum, der als Kern der Jacobi-Matrix gegeben ist, und dem Dualraum zu ${}{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}$ stiften. Es sei

${}v={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\in T_{P}V=\operatorname {kern} \left(\operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}\right)\,.$

Dies definiert eine Abbildung

${\mathfrak {m}}_{P}\longrightarrow K,\,g\longmapsto (dg)_{P}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=v_{1}\partial _{1}g(P)+\cdots +v_{n}\partial _{n}g(P),$

dabei wird, in analytischer Sprache, einer Funktion ${}g$ die Auswertung in ${}P$ ihrer Richtungsableitung in Richtung ${}v$ zugeordnet. Die Kernbedingung stellt dabei sicher, dass Funktionen aus dem Ideal ${}(f_{1},\ldots ,f_{m})$ auf ${}0$ abgebildet werden und die Abbildung auf dem maximalen Ideal des Restklassenringes wohldefiniert ist. Nach der Produktregel wird dabei ${}{\mathfrak {m}}_{P}^{2}$ auf ${}0$ abgebildet und es ergibt sich eine ${}K$- lineare Abbildung

${\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}\longrightarrow K.$

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper

${}P\in V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$

ein Punkt der affin-algebraischen Menge zum Ideal ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{m})$ mit dem lokalen Ring

${}R=(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})_{{\mathfrak {m}}_{P}}\,.$

Dann ist der Punkt genau dann glatt, wenn ${}R$ regulär ist.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Ohne Einschränkung sei ${}P$ der Nullpunkt mit dem zugehörigen maximalen Ideal ${}{\mathfrak {n}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})$ im Polynomring, dem zugehörigen maximalen Ideal ${}{\mathfrak {r}}={\mathfrak {n}}/{\mathfrak {a}}$ in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ und dem zugehörigen maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{P}={\mathfrak {r}}(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}})_{\mathfrak {r}}$ in ${}R$. Wir betrachten die ${}K$- lineare Abbildung

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K^{n},\,g\longmapsto ((\partial _{1}g)(P),\ldots ,(\partial _{n}g)(P)).$

Dabei werden die Variablen ${}X_{i}$ auf die Standardvektoren ${}e_{i}$ abgebildet und die Abbildung ist surjektiv. Ein Element

${}g=c_{0}+c_{1}X_{1}+\cdots +c_{n}X_{n}+{\text{ höhere Terme}}\,$

wird auf ${}\left(c_{1},\,\ldots ,\,c_{n}\right)$ abgebildet. Ein homogenes Element

${}g\in {\mathfrak {n}}^{2}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\geq 2}\,$

besitzt zumindest den Grad ${}2$ und wird daher auf ${}0$ abgebildet, da die partiellen Ableitungen den Grad um ${}1$ reduzieren und somit ergibt sich jeweils ein Element von positivem Grad. Durch Einsetzen des Nullpunktes ergibt sich dann ${}0$. Insgesamt induziert dies eine ${}K$-lineare Abbildung

${\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}\longrightarrow K^{n},$

die bijektiv ist, da die Räume die gleiche Vektorraumdimension besitzen.

Nach Fakt ***** ist ${}{\mathfrak {r}}/{\mathfrak {r}}^{2}\cong {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$. Unter der surjektiven Abbildung

${\mathfrak {n}}\longrightarrow {\mathfrak {r}}\longrightarrow {\mathfrak {r}}/{\mathfrak {r}}^{2}$

wird ${}{\mathfrak {n}}^{2}$ und ${}{\mathfrak {a}}$ auf ${}0$ abgebildet, und zwar ist der Kern genau ${}{\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}}$. Somit gibt es eine ${}K$-lineare Bijektion

${\mathfrak {n}}/({\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}})\longrightarrow {\mathfrak {r}}/{\mathfrak {r}}^{2}.$

Wir betrachten die Abbildungen

$K^{m}{\stackrel {\operatorname {Jak} }{\longrightarrow }}K^{n}\cong {\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}\longrightarrow {\mathfrak {n}}/{\left({\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}}\right)}.$

Ein Element ${}[g]\in {\mathfrak {n}}/{\mathfrak {n}}^{2}$ wird rechts genau dann auf ${}0$ geschickt, wenn der lineare Anteil von ${}g$ zu ${}{\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}}$ gehört. Dies bedeutet, dass eine Gleichung der Form

${}g=\sum _{i=1}^{m}h_{i}f_{i}\,$

modulo ${}{\mathfrak {n}}^{2}$ besteht und dies bedeutet (für die ${}h_{i}$ ist nur der konstante Term relevant), dass eine lineare Gleichung der Form

${}{\begin{pmatrix}(\partial _{1}g)(P)\\\vdots \\(\partial _{n}g)(P)\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{m}h_{i}{\begin{pmatrix}(\partial _{1}f_{i})(P)\\\vdots \\(\partial _{n}f_{i})(P)\end{pmatrix}}\,$

Dies ist genau dann der Fall, wenn ${}{\begin{pmatrix}(\partial _{1}g)(P)\\\vdots \\(\partial _{n}g)(P)\end{pmatrix}}$ im Bild der Jacobimatrix liegt. Daher ist das Bild der Jacobimatrix gleich dem Kern der surjektiven Abbildung rechts. Somit ist nach der Dimensionsformel

${}n=\operatorname {rang} \,(\operatorname {Jak} )+\dim _{K}{\left({\mathfrak {n}}/{\left({\mathfrak {n}}^{2}+{\mathfrak {a}}\right)}\right)}=\operatorname {rang} \,(\operatorname {Jak} )+\dim _{K}{\left({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\right)}\,.$

Es sei nun ${}d$ die Dimension von ${}V({\mathfrak {a}})$ im Punkt ${}P$, die mit der Dimension des lokalen Ringes ${}R$ übereinstimmt. Nach Definition ist ${}P$ genau dann nichtsingulär, wenn ${}n=\operatorname {rang} \,(\operatorname {Jak} )+d$ ist. Dies ist daher genau dann der Fall, wenn

${}\dim _{K}{\left({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\right)}=d\,$

ist, und dies ist die Definition eines regulären Ringes.

$\Box$

 

Satz

Es sei ${}K$ ein vollkommener Körper und ${}R$ die Lokalisierung einer endlich erzeugten ${}K$- Algebra. Der Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}$ sei isomorph zu ${}K$.

Dann ist ${}R$ genau dann regulär, wenn der Modul der Kähler-Differentiale frei ist und sein Rang mit der Dimension des Ringes übereinstimmt.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Wir verwenden Lemma 18.14, also den natürlichen ${}R/{\mathfrak {m}}$- Isomorphismus

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow \Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}},\,[f]\longmapsto df\otimes 1.$

Wenn ${}\Omega _{R{|}K}$ ein freier ${}R$-Modul und sein Rang gleich der Dimension ${}d$ ist, so gilt dies auch für den ${}R/{\mathfrak {m}}$-Modul ${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$ und dann ist insbesondere ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ ein ${}d$-dimensionaler ${}R/{\mathfrak {m}}$- Vektorraum. Dies bedeutet nach Definition, dass ${}R$ regulär ist. Umgekehrt folgt aus der Regularität, dass ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ und entsprechend ${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$ ein ${}d$-dimensionaler Vektorraum ist, und nach dem Lemma von Nakayama, dass ${}\Omega _{R{|}K}$ als ${}R$-Modul von ${}d$ Elementen erzeugt wird. Nach Satz 21.5 (Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)) ist ${}R$ ein Integritätsbereich, sei ${}Q(R)$ sein Quotientenkörper. Nach Satz 19.7 (Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)) ist der Transzendenzgrad von ${}Q(R)$ über ${}K$ gleich der Dimension von ${}R$. Da der Modul der Kähler-Differentiale mit Nenneraufnahmen verträglich ist, gilt

${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}Q(R)=\Omega _{Q(R){|}K}\,.$

Da ${}K$ vollkommen ist, ist die Körpererweiterung ${}K\subseteq Q(R)$ nach Fakt ***** (nicht endlich, aber) separabel. Damit ist ${}\Omega _{Q(R){|}K}$ ein freier ${}Q(R)$-Modul, dessen Rang gleich dem Transzendenzgrad ist. Zusammenfassend besitzt also der ${}R$-Modul ${}\Omega _{Q(R){|}K}$ die Eigenschaft, dass er von ${}d$ Elementen ${}\omega _{1},\ldots ,\omega _{d}$ erzeugt wird und dass die Tensorierung mit ${}Q(R)$ ein ${}Q(R)$- Vektorraum der Dimension ${}d$ ist. Somit müssen die ${}\omega _{1},\ldots ,\omega _{d}$ ${}R$- linear unabhängig sein, da sie dies über ${}Q(R)$ sind, und daher handelt es sich um eine Basis. Also ist ${}\Omega _{R{|}K}$ frei vom Rang ${}d$.

$\Box$

 

Ohne die Voraussetzung, dass der Grundkörper vollkommen ist, ist diese Aussageb nicht richtig, siehe Aufgabe 18.24.

Korollar

Es sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine zusammenhängende glatte Varietät über einem vollkommener Körper ${}K$ und es sei ${}R$ der affine Koordinatenring zu ${}V$.

Dann ist der Modul der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{R{|}K}$ lokal frei von konstantem Rang ${}\operatorname {dim} {\left(R\right)}$ und insbesondere ein projektiver Modul.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Dies folgt aus Satz 18.16, Satz 18.17, Lemma 18.6 und Lemma 16.5.

$\Box$

 

Beispiel

Wir betrachten die reelle Sphäre

${}S^{2}={\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

mit dem affinen Koordinatenring

${}R=\mathbb {R} [X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-1\right)}\,.$

Der ${}R$- Modul der Kählerdifferentiale ist nach Korollar 18.9 gleich

${}\Omega _{R{|}\mathbb {R} }=RdX\oplus RdY\oplus RdZ/(XdX+YdY+ZdZ)\,.$

Eine direkte Überprüfung zeigt, dass die reelle Sphäre glatt ist. Nach Satz 18.17 ist somit ${}\Omega _{R{|}\mathbb {R} }$ lokal frei (von konstantem Rang ${}2$). Dies kann man auch direkt von der Darstellung her begründen, siehe Aufgabe 18.25. Dagegen ist ${}\Omega _{R{|}\mathbb {R} }$ nicht frei. Dies ist eine algebraische Version des Satzes vom Igel, dass man ihn nicht glattkämmen kann, also die Stacheln nicht wirbelfrei tangential an die Kugel anlegen kann.

Der Tangentialraum zu einer polynomialen Abbildung ${}f\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ mit dem Nullstellengebilde ${}V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ an einem Punkt ${}P\in V$ ist

${}T_{P}V:=\operatorname {kern} \left(\operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}\right)={\left\{v\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid \operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}(v)=0\right\}}\,.$

Wenn ${}P$ ein regulärer Punkt der Abbildung ist und man den Satz über implizite Abbildungen anwenden kann, so handelt es sich um einen linearen Unterraum, dessen Dimension mit der (Mannigfaltigkeits-)Dimension von ${}V$ übereinstimmt. Diese Konstruktion ist extrinsisch, sie hängt von der Einbettung von ${}V$ in den affinen Raum ab. Wir möchten eine intrinsische Version des Tangentialraumes vorstellen, der nur von ${}V$ bzw. dem affinen Koordinatenring abhängt. Dazu führen wir den Modul der Kähler-Differentiale ein, der für jede ${}R$- Algebra ${}A$ eine duale Version des Tangentialraumes liefert.

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