Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 17
Vergleiche die Definition 17.1 eines geometrischen Vektorbündels über einem Schema mit der Definition 1.4 eines reellen Vektorbündels über einem topologischen Raum.
Es sei ein geometrisches Vektorbündel vom Rang über dem Schema . Zeige, dass die Faser zu über dem Punkt isomorph zu ist.
Was ist ein Vektorbündel über einem Schema vom Rang ?
Diskutiere das triviale Geradenbündel
Was kann man über die Fasern, was über Schnitte, was über abgeschlossene Teilmengen und ihre Bilder in sagen?
Bestimme in Beispiel 17.3 die Trivialisierungen und die Übergangsabbildungen explizit.
Es sei ein Schema und seien und Vektorbündel über vom Rang bzw. . Definiere die direkte Summe der beiden Vektorbündel unter Bezugnahme auf (simultane) Trivialisierungen und (es soll also gelten).
Definiere Konstruktionen aus der linearen Algebra wie direkte Summe, Dual, Tensorprodukt, äußeres Produkt für geometrische Vektorbündel über einem Schema.
Man orientiere sich an der dritten Vorlesung.
Zeige, dass bei einem geometrischen Vektorbündel der Nullschnitt eine abgeschlossene Einbettung ist.
Es sei ein Vektorbündel über . Zeige, dass die Addition die folgenden Eigenschaften besitzt (es ist zugleich zu zeigen, dass die angegebenen Morphismen existieren).
- Das Diagramm
kommutiert, wobei den Nullschnitt bezeichnet.
- Das Diagramm
kommutiert, wobei die Vertauschung der beiden Faktoren bezeichnet.
- Das Diagramm
kommutiert.
Zur folgenden Aufgabe vergleiche man
Aufgabe 1.6.
Es sei ein Körper. Wir betrachten
und die Einschränkung
(worauf beruht die Gleichheit links?) Zeige die folgenden Aussagen.
- Die Abbildung ist auf und auf isomorph zur affinen Gerade über der Basis.
- Die Abbildung besitzt keinen Schnitt.
- ist kein Geradenbündel.
Es sei eine kommutative - Algebra von endlichem Typ über einem Körper . Es seien Elemente in und es sei
die erzwingende Algebra zu diesen Daten. Es sei
die eingeschränkte Spektrumsabbildung. Zeige, dass es eine offene affine Überdeckung derart gibt, dass isomorph zu ist, und dass dabei die Übergangsabbildungen affin-linear sind.
Zeige, dass ein Homomorphismus von trivialen Vektorbündeln
über dem affinen Schema durch eine - Matrix über gegeben ist.
Zeige, dass ein Homomorphismus von Vektorbündeln
über den Nullschnitt von (aufgefasst als abgeschlossenes Unterschema) in den Nullschnitt von abbildet.
Es sei ein Homomorphismus von Vektorbündeln über . Zeige, dass das Diagramm
kommutiert (ein Vektorbündelhomomorphismus ist also mit der Addition verträglich).
Wir betrachten den Homomorphismus von trivialen Vektorbündeln
über , der durch die - Matrix gegeben ist. Bestimme die Punkte , für die die zugehörige Faserabbildung injektiv bzw. surjektiv ist.
Es seien und Vektorbündel über einem Schema und ein surjektiver Homomorphismus von Vektorbündeln. Zeige, dass der (punktweise genommene) Kern ein Vektorbündel über ist.
Es seien und Vektorbündel über einem Schema . Zeige, dass die Garbe der Schnitte der direkten Summe gleich der direkten Summe der Garbe der Schnitte von und ist.
Zeige, dass die Garbe der Schnitte zu dem Geradenbündel
aus Beispiel 17.4 die getwistete Strukturgarbe ist.
Es seien und Schemata über einem Schema und sei ein Schemamorphismus über . Zeige, dass die zugehörige Abbildung der Garbe der Schnitte (in der Kategorie der Schemata) , die einem Schnitt den Schnitt zuordnet, ein Garbenmorphismus ist.
Es sei ein Vektorbündelhomomorphismus zwischen den Vektorbündeln und über und sei
der zugehörigen Garbenmorphismus der Garbe der Schnitte. Zeige, dass ein - Modulhomomorphismus ist.
Es seien und Vektorbündel über dem Schema und seien die zugehörigen Garben der Schnitte. Zeige, dass die Abbildung
die einem Vektorbündelhomomorphismus der zugehörigen - Modulhomomorphismus zuordnet, eine Bijektion ist. Zeige ferner, dass sich unter dieser Korrespondenz die Isomorphismen entsprechen.
Es seien und Vektorbündel über einem Schema und und die zugehörigen lokal freien Garben der Schnitte. Es sei ein Homomorphismus von Vektorbündeln und der zugehörige Garbenhomomorphismus. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- ist ein surjektiver Schemamorphismus.
- In jedem Punkt ist die Faserabbildung surjektiv.
- Der Homomorphismus ist surjektiv.
- Es gibt eine offene Überdeckung
und lokale Schnitte
(Vektorbündelhomomorphismen)
zu .
- Es gibt eine offene Überdeckung
und lokale Schnitte
(Modulhomomorphismen)
zu .
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