Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 16

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ lokal freie Garben auf einem beringten Raum vom Rang ${}r$ bzw. ${}s$. Zeige, dass die direkte Summe ${}{\mathcal {F}}\oplus {\mathcal {G}}$ lokal frei vom Rang ${}r+s$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe vom Rang ${}r$ auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Zeige, dass die duale Garbe ${}{\mathcal {F}}^{*}$ ebenfalls lokal frei vom Rang ${}r$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine lokal freie Garbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ in natürlicher Weise isomorph zu ihrem Bidual ${}{\mathcal {F}}^{**}$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ lokal freie Garben auf einem beringten Raum. und sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein surjektiver Modulhomomorphismus. Zeige, dass der Kern ${}\operatorname {kern} \varphi$ ebenfalls lokal frei ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Rang von lokal freien Garben auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ additiv für kurze exakte Sequenzen ist. Dies bedeutet, dass wenn eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

von lokal freien Garben vorliegt, dass dann

${}\operatorname {rang} \,{\mathcal {G}}=\operatorname {rang} \,{\mathcal {F}}+\operatorname {rang} \,{\mathcal {H}}\,$

ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ lokal freie Garben auf einem beringten Raum vom Rang ${}r$ bzw. ${}s$. Zeige, dass das Tensorprodukt ${}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}$ lokal frei vom Rang ${}rs$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ lokal freie Garben auf einem beringten Raum und sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein injektiver Modulhomomorphismus. Zeige, dass die Quotientengarbe ${}{\mathcal {G}}/{\mathcal {F}}$ im Allgemeinen nicht lokal frei ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ ein kohärenter Modul auf einem noetherschen Schema ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$. Es sei ${}r\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}{\mathcal {F}}$ ist lokal frei vom Rang ${}r$.
2. Für jeden Punkt ${}P\in X$ ist der ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$-Modul ${}{\mathcal {F}}_{P}$ frei vom Rang ${}r$.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein noethersches integres Schema und sei ${}{\mathcal {F}}$ ein kohärenter Modul auf ${}X$. Zeige, dass es eine offene nichtleere Teilmenge ${}U\subseteq X$ derart gibt, dass ${}{\mathcal {F}}{|}_{U}$ frei ist.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein noethersches Schema und sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Modulhomomorphismus von kohärenten Moduln ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}X$. Es sei ${}P\in X$ ein Punkt derart, dass ${}\varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\rightarrow {\mathcal {G}}_{P}$ ein Isomorphismus ist. Zeige, dass es eine offene Umgebung ${}P\in U\subseteq X$ derart gibt, dass ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}{|}_{U}\rightarrow {\mathcal {G}}{|}_{U}$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein flacher ${}R$- Modul. Es sei ${}S$ eine ${}R$- Algebra. Zeige, dass ${}M\otimes _{R}S$ ein flacher ${}S$-Modul ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Zeige, dass ${}M$ genau dann ein projektiver Modul, wenn es einen weiteren Modul ${}N$ derart gibt, dass die direkte Summe ${}M\oplus N$ frei ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K^{n}$ der Produktring. Zeige, dass jeder ${}R$- Modul ${}M$ projektiv ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen artinschen Ring und einen endlich erzeugten ${}R$- Modul ${}M$, der nicht projektiv ist.

Aufgabe

Zeige, dass es zu dem surjektiven Gruppenhomomorphismus

$p\colon \mathbb {Z} ^{(\mathbb {N} _{+})}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,e_{n}\longmapsto {\frac {1}{n}},$

keinen Gruppenhomomorphismus

$i\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ^{(\mathbb {N} _{+})}$

mit ${}p\circ i=\operatorname {Id} _{\mathbb {Q} }$ gibt. Folgere, dass der ${}\mathbb {Z}$- Modul ${}\mathbb {Q}$ nicht projektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein projektiver ${}R$- Modul. Es sei ${}T\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass ${}M_{T}$ ein projektiver ${}R_{T}$-Modul ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein projektiver ${}R$- Modul. Es sei ${}S$ eine ${}R$- Algebra. Zeige, dass ${}M\otimes _{R}S$ ein projektiver ${}S$-Modul ist.

Aufgabe

Sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$. Es sei

${}{\mathcal {S}}=\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,$

die zugehörige Syzygiengarbe auf ${}U=D(f_{1},\ldots ,f_{n})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$. Man gebe explizite Trivialisierungen für ${}{\mathcal {S}}{|}_{D(f_{i})}$ an.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring und ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ homogene Elemente vom Grad ${}d_{i}$. Das von den ${}f_{i}$ erzeugte Ideal ${}I$ und das irrelevante Ideal ${}R_{+}$ haben das gleiche Radikal. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es liegt eine kurze exakte Sequenz

   $0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\bigoplus _{i=1}^{n}R(-d_{i})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,I\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

   von graduierten ${}R$- Moduln mit homogenen Homomorphismen vor.

2. Auf ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ liegt eine kurze exakte Sequenz

   $0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{Y}(-d_{i})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{Y}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

   von lokal freien Garben vor.

3. Auf ${}D_{+}(f_{i})$ ist die Einschränkung der lokal freien Garbe ${}\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ isomorph zu einer direkten Summe von getwisteten Strukturgarben.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe auf einem beringten Raum. Zeige, dass die Determinantengarbe ${}\operatorname {Det} F$ invertierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine lokal freie Garbe auf einem beringten Raum mit der Dualgarbe ${}{\mathcal {F}}^{*}$. Zeige, dass für die Determinantengarben die Beziehung

${}\left(\operatorname {Det} F\right)^{*}=\operatorname {Det} \left(F^{*}\right)\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und sei

${}{\mathcal {F}}={\mathcal {L}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {L}}_{r}\,$

eine direkte Summe von invertierbaren Garben. Zeige

${}\operatorname {Det} F\cong {\mathcal {L}}_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{\mathcal {L}}_{r}\,.$

Aufgabe

Zeige, dass in der Situation von Aufgabe 16.19 die Determinantengarbe der lokal freien Garbe ${}\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ auf ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ gleich

${}\operatorname {Det} \left(\operatorname {Syz} {\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\right)={\mathcal {O}}_{Y}(-\sum _{i=1}^{n}d_{i})\,$

ist.