Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 30

Aufgabe

Beweise für die projektive Gerade den Satz von Riemann-Roch direkt.

Aufgabe

Es sei ${}f\in K[X,Y,Z]$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}e$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ derart, dass

${}C=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y,Z]/(f)\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

eine glatte projektive Kurve ist. Es seien

${}g_{1},\ldots ,g_{n}\in K[X,Y,Z]\,$

homogene Elemente vom Grad ${}d_{1},\ldots ,d_{n}$ derart, dass die ${}D_{+}(g_{i})$ die Kurve überdecken. Wir fassen die ${}g_{i}$ als Garbenhomomorphismen ${}{\mathcal {O}}_{C}(-d_{i})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}$, ${}h\longmapsto hg_{i}$, (bzw. ${}{\mathcal {O}}_{C}(m-d_{i})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}(m)$, ${}h\longmapsto hg_{i}$, für ${}m\in \mathbb {Z}$) auf.

1. Zeige, dass der Garbenhomomorphismus

   $\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{C}(m-d_{i})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}(m)$

   surjektiv ist.

2. Es sei ${}\operatorname {Syz} {\left(g_{1},\ldots ,g_{n}\right)}(m)$ die Kerngarbe zum Homomorphismus aus (1). Zeige, dass diese Garbe lokal frei ist.
3. Bestimme den Rang von ${}\operatorname {Syz} {\left(g_{1},\ldots ,g_{n}\right)}(m)$.
4. Bestimme den Grad von ${}\operatorname {Syz} {\left(g_{1},\ldots ,g_{n}\right)}(m)$.

Aufgabe

Man gebe auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ Beispiele für lokal freie Garben vom Rang ${}2$ und vom Grad ${}0$ derart an, dass die Dimension der globalen Schnitte beliebig groß wird.

Aufgabe

Es sei (vergleiche Satz 19.8)

${}\operatorname {Syz} {\left(x,y,z\right)}\cong \Omega _{{\mathbb {P} }_{K}^{2}{|}K}\,$

die Kotangentialgarbe auf der projektiven Ebene und sei ${}L\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine projektive Gerade. Zeige

${}\operatorname {Syz} {\left(x,y,z\right)}{|}_{L}\cong {\mathcal {O}}_{L}(-1)\oplus {\mathcal {O}}_{L}(-2)\,.$

Aufgabe

Es sei (vergleiche Satz 19.8)

${}\operatorname {Syz} {\left(x,y,z\right)}\cong \Omega _{{\mathbb {P} }_{K}^{2}{|}K}\,$

die Kotangentialgarbe auf der projektiven Ebene und sei ${}C=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte Quadrik. Zeige ${}\operatorname {Syz} {\left(x,y,z\right)}{|}_{C}$ eine direkte Zerlegung als Summe von zwei invertierbaren Garben besitzt.

Betrachte einen Isomorphismus ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}\cong C$.