Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 29

Aufgabe

Zeige, dass die folgenden Daten bzw. Konstruktionen den gleichen Morphismus

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

von der projektiven Geraden in sich festlegen (dabei seien ${}(a,b),(c,d)\in K^{2}$ linear unabhängig).

1. Der induzierte Morphismus im Sinne von Satz 12.11 zum homogenen Ringhomomorphismus ${}K[X,Y]\rightarrow K[S,T]$ mit ${}X\mapsto aS+bT$, ${}Y\mapsto cS+dT$.
2. Der Morphismus zu den beiden Schnitten ${}as+bt,cs+dt\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(1)\right)}$ im Sinne von Lemma 28.1.
3. Der Morphismus im Sinne von Lemma 29.7 zur rationalen Funktion ${}{\frac {as+bt}{cs+dt}}\in K{\left({\frac {s}{t}}\right)}$.

Aufgabe

Zeige, dass es einen Morphismus

$V(X^{2}-Y^{3})\supseteq U=V(X^{2}-Y^{3})\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{}^{1}$

gibt, den man nicht auf ${}V(X^{2}-Y^{3})$ ausdehnen kann.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve. Es sei ${}P\in C$ ein Punkt der Kurve und sei

$\varphi \colon C\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

der durch die Projektion weg vom Punkt definierte Morphismus. Bei dieser Abbildung wird also ein Punkt ${}Q\in C$, ${}Q\neq P$, auf die durch ${}Q$ und ${}P$ gegebene Sekante abgebildet.

1. Sei ${}K={\mathbb {C} }$ und sei ${}Q_{n}$ eine Folge auf ${}C$, die in der komplexen Topologie gegen ${}P$ konvergiert. Konvergiert ${}\varphi (Q_{n})$?
2. Besitzt ${}\varphi (Q_{n})$ einen Häufungspunkt?
3. Es sei ${}P$ ein glatter Punkt. Zeige, dass es eine Fortsetzung des Morphismus auf ganz ${}C$ gibt.

Aufgabe

Diskutiere die Situation aus Aufgabe 29.3 für das Achsenkreuz

${}V_{+}(YZ)\subset {\mathbb {P} }_{}^{2}\,$

und den Kreuzungspunkt ${}(1,0,0)$.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine irreduzible ebene projektive Kurve vom Grad ${}d$ und sei

$\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

der durch eine Projektion weg von einem Punkt ${}P\notin C$ definierte Morphismus. Zeige, dass bis auf endlich viele Ausnahmen die Faser zu jedem Punkt ${}t\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ aus genau ${}d$ Punkten besteht.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte Kurve vom Grad ${}d\geq 2$. Zeige, dass es einen Morphismus ${}C\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ derart gibt, dass jede Faser aus maximal ${}d-1$ Punkten besteht.

Aufgabe

Es sei ${}C=V_{+}{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ die Fermat-Kubik über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik ${}\neq 3$. Beschreibe explizit einen Morphismus ${}C\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$, bei dem über jedem Punkt maximal zwei Punkte liegen.

Aufgabe

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve mit Funktionenkörper ${}Q(C)=$ und ${}q\in Q(C)$ mit zugehörigem Morphismus

$q\colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}.$

Sei ${}a\in K$. Zeige, dass es einen Automorphismus

$\theta \colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

derart gibt, dass das Diagramm

${\begin{matrix}C&{\stackrel {q}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{1}&\\&\!\!\!\!\!q-a\searrow &\downarrow \theta \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {P} }_{K}^{1}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Aufgabe

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei ${}q\in Q(C)$ ein nichtkonstantes Element im Funktionenkörper ${}Q(C)$ mit dem zugehörigen Morphismus

$q\colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}.$

Zeige, dass zu jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ die zurückgezogenen Divisoren ${}q^{*}(P)$ untereinander linear äquivalent sind.

Verwende Aufgabe 29.8.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ die projektive Gerade mit Funktionenkörper ${}K(t)$, ${}t={\frac {Y}{X}}$. Beschreibe den zugehörigen Schemamorphismus

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,t\longmapsto t^{n}$

für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Was ist das Urbild des Nullpunktes, was ist das Urbild des unendlich fernen Punktes, wie sehen die Verzweigungsordnungen aus?

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ die projektive Gerade mit Funktionenkörper ${}K(t)$, ${}t={\frac {Y}{X}}$, und sei ${}P\in K[t]$ ein Polynom vom Grad ${}e\geq 1$. Beschreibe die Verzweigungsordnung in ${}\infty$ für den zugehörigen Schemamorphismus

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,t\longmapsto P.$

Aufgabe *

Es seien ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[W,Z]\right)}$ projektive Geraden mit den Funktionenkörpern ${}K(t)$, ${}t={\frac {Y}{X}}$ bzw. ${}K(u)$, ${}u={\frac {Z}{W}}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ der Charakteristik ${}\neq 2$. Wir betrachten auf der zweiten projektiven Geraden das durch ${}WZ,W^{2}+Z^{2}\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(2)\right)}$ gegebene lineare System mit der zugehörigen Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(w,z)\longmapsto (wz,w^{2}+z^{2}).$

1. Handelt es sich um ein volles lineares System?
2. Bestimme die Urbilder zu ${}D_{+}(X)$ und ${}D_{+}(Y)$ und beschreibe die induzierten Abbildungen zwischen den affinen offenen Teilmengen.
3. Handelt es sich um ein basispunktfreies lineares System?
4. Beschreibe die zugehörige Körpererweiterung

   ${}K(t)\subseteq K(u)\,$

   der Funktionenkörper. Welchen Grad besitzt sie?

5. Bestimme für jeden Punkt ${}(x,y)\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ das Urbild unter ${}\varphi$ sowie die jeweilige Verzweigungsordnung.
6. Beschreibe den zurückgezogenen Divisor ${}\varphi ^{*}(0-\infty )=\varphi ^{*}((Y)-(X))$.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein normales noethersches integres Schema über einem Körper ${}K$ und sei ${}q\in Q(X)$ ein Element des Funktionenkörpers von ${}X$. Zeige, dass ${}q$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ einen Morphismus

$q\colon U\longrightarrow {\mathbb {P} }_{}^{1}$

definiert, wobei die Kodimension von ${}X\setminus U$ zumindest ${}2$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe von negativem Grad auf einer irreduziblen glatten projektiven Kurve ${}C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Zeige

${}\Gamma {\left(C,{\mathcal {L}}\right)}=0\,.$

Aufgabe

Zeige, dass für eine glatte projektive Kurve ${}C$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Grad von invertierbaren Garben ein surjektiver Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Pic} {\left(C\right)}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,{\mathcal {L}}\longmapsto \operatorname {deg} {\left({\mathcal {L}}\right)},$

ist.