Kurs:Differentialgeometrie/10/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	6	4	5	0	5	6	6	0	6	12	0	9	65

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Hauptkrümmung zu einer differenzierbaren Fläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ in einem Punkt ${}P\in Y$.
2. Ein Diffeomorphismus zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$.
3. Ein Tangentialvektor in einem Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
4. Ein Differentialoperator erster Ordnung auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
5. Ein euklidischer Halbraum.
6. Eine kompakte Ausschöpfung eines topologischen Raumes ${}X$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den Tangentialraum einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit ${}M\subseteq N$.
2. Der Satz über die Gestalt einer zurückgezogenen Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$ unter einer differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon U\longrightarrow V$

   (mit offenen Teilmengen ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$, deren Koordinaten mit ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit ${}y_{1},\ldots ,y_{m}$ bezeichnet seien) von einer ${}k$- Differentialform auf ${}V$ mit der Darstellung

   ${}\omega =\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dy_{I}\,,$

   wobei ${}f_{I}\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen

   sind.
3. Der Satz über die Charakterisierung von geodätischen Kurven bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$.

Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

Es seien ${}\alpha ,\beta \in \mathbb {R} _{+}$ und sei

${}Y={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \alpha x^{2}+\beta y^{2}=1\right\}}\,.$

1. Bestimme die Gauß-Abbildung zu ${}Y$.
2. Man gebe zur Gauß-Abbildung zu ${}Y$ explizit eine Umkehrabbildung an.

Aufgabe (4 Punkte)

Man erläutere das Begriffspaar „extrinsisch und intrinsisch“ im Kontext von Mannigfaltigkeiten.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die Formel für den Flächeninhalt der Oberfläche eines Rotationskörpers zu einer differenzierbaren Kurve

$\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$

mit ${}y(t)>0$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Torus. Man gebe eine surjektive differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow X$

derart an, dass auch die Tangentialabbildung

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow T_{\varphi (P)}X$

in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ surjektiv ist.

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten den Graph ${}M$ der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto u^{2}+uv-v^{3},$

als zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{3}$, also

${}M={\left\{(u,v,u^{2}+uv-v^{3})\mid (u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\right\}}\,$

mit der vom ${}\mathbb {R} ^{3}$ induzierten riemannschen Metrik. Es sei

$\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow M,\,(u,v)\longmapsto (u,v,u^{2}+uv-v^{3}),$

die zugehörige Diffeomorphie.

a) Bestimme das totale Differential zu ${}\psi$ sowie die Bildvektoren ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$.

b) Bestimme für jeden Punkt der Form ${}P=(u,0)$ den Flächeninhalt des von ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms.

c) Bestimme für jeden Punkt der Form ${}P=(0,v)$ den Flächeninhalt des von ${}T_{P}(\psi )(e_{1})$ und ${}T_{P}(\psi )(e_{2})$ in ${}T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Produktregel für differenzierbare Differentialformen auf einer offenen Menge des ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand und sei ${}P\in \partial M$ ein Randpunkt. Zeige, dass für einen Tangentialvektor ${}v\in T_{P}M$ folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es gibt einen stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [-\epsilon ,0]\rightarrow M$ mit ${}\gamma (0)=P$ und ${}\gamma '(0)=v$.
2. ${}v$ wird bei jeder Karte mit einem negativen Halbraum unter der Tangentialabbildung auf den rechten Halbraum abgebildet.

Aufgabe * (12 Punkte)

Beweise den Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (9 (1+1+3+2+2) Punkte)

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung

$\psi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right)$

des Einheitskreises. Es sei ${}c\in [0,2\pi [$ fixiert. Auf dem trivialen Vektorbündel

$S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow S^{1}$

sei ein linearer Zusammenhang ${}\nabla$ gegeben derart, dass der längs ${}\psi$ zurückgezogene Zusammenhang ${}\psi ^{*}\nabla$ durch die Christoffelsymbole (der Index für die einzige Ableitungsrichtung wird weggelassen)

${}{\begin{pmatrix}{\tilde {\Gamma }}_{1}^{1}(t)&{\tilde {\Gamma }}_{1}^{2}(t)\\{\tilde {\Gamma }}_{2}^{1}(t)&{\tilde {\Gamma }}_{2}^{2}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-{\frac {c}{2\pi }}\\{\frac {c}{2\pi }}&0\end{pmatrix}}\,$

gegeben ist. Wir betrachten zu einem Punkt ${}Q={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$ die Abbildung

$\Psi _{Q}\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}\times \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t,\,M(t){\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\right)$

mit

${}M(t)={\begin{pmatrix}\cos {\frac {ct}{2\pi }}&-\sin {\frac {ct}{2\pi }}\\\sin {\frac {ct}{2\pi }}&\cos {\frac {ct}{2\pi }}\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme ${}\Psi _{Q}(0)$.
2. Bestimme ${}\Psi _{Q}(2\pi )$.
3. Zeige, dass ${}\Psi _{Q}$ eine horizontale Liftung längs ${}\psi$ ist.
4. Zeige, dass

   $\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,Q\longmapsto \Psi _{Q}(2\pi ),$

   eine lineare Isometrie ist (der Basispunkt ${}(1,0)$ wird hier nicht aufgeführt).

5. Zeige, dass

   $\mathbb {Z} \longrightarrow \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,k\longmapsto {\left(Q\mapsto \Psi _{Q}(2k\pi )\right)},$

   ein Gruppenhomomorphismus ist.