Kurs:Differentialgeometrie/2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	${}\sum$
Punkte	3	3	8	7	8	3	5	5	6	4	12	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Normalenfeld ${}N$ auf einer differenzierbaren Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
2. Ein überdeckungskompakter topologischer Raum.
3. Der Kotangentialraum in einem Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
4. Ein regulärer Punkt ${}Q\in L$ zu einer differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$.

5. Das Produkt von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$.
6. Ein Zusammenhang auf einem differenzierbaren Vektorbündel ${}E\rightarrow M$ über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen Krümmung und Einheitsnormalenvektor einer bogenparametrisierten ebenen Kurve.
2. Das Theorema egregium.
3. Der Satz von Green für den Flächeninhalt.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei

${}f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy\,.$

Bestimme die Hauptkrümmungen und die Hauptkrümmungsrichtungen des Graphen zu ${}f$ im Nullpunkt.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Existenzsatz für den Paralleltransport auf einer Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe * (8 Punkte)

Zeige, dass eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}M$ der Dimension ${}n\geq 1$ unendlich viele Diffeomorphismen

$\varphi \colon M\longrightarrow M$

besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Die Funktion habe im Punkt ${}P\in M$ ein lokales Extremum. Zeige

${}(df)_{P}=0\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die ${}1$- Differentialform

${}\omega =-vdu+udv\,$

auf der ${}1$- Sphäre ${}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$, wobei die Koordinaten des umgebenden ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit ${}u$ und ${}v$ bezeichnet seien. Bestimme ${}\pi ^{*}\omega$ unter der stetig differenzierbaren Abbildung

$\pi \colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\longrightarrow S^{1},\,(x,y)\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}(x,y).$

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Berechnung des kanonischen Volumens auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$.

Aufgabe * (6 (1+1+3+1) Punkte)

Begründe, dass der ${}\mathbb {R} ^{2}$ keine Struktur einer Mannigfaltigkeit mit Rand derart trägt, dass die angegebene Teilmenge ${}T$ der Rand ist.

a) ${}T={]0,1[}$, wobei das Intervall auf der ${}x$-Achse liegt.

b) ${}T=[0,1]$, wobei das Intervall auf der ${}x$-Achse liegt.

c) ${}T=\mathbb {R}$, wobei ${}\mathbb {R}$ die ${}x$-Achse sei.

d) ${}T=S^{1}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}\omega$ eine stetig differenzierbare ${}n-1$- Differentialform auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und sei die äußere Ableitung gleich

${}d\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

mit einer Funktion ${}f\colon U\rightarrow \mathbb {R}$. Zeige für ${}P\in U$ die Gleichheit

${}f(P)={\frac {1}{\beta _{n}}}\cdot \operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {1}{\epsilon ^{n}}}\int _{S^{n-1}(P,\epsilon )}\omega \,,$

wobei ${}\beta _{n}$ das Volumen der ${}n$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.

Aufgabe * (12 Punkte)

Beweise den Satz von Stokes für Mannigfaltigkeiten mit Rand.