Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 19/kontrolle
- Übungsaufgaben
Zeige, dass die zweite Fundamentalmatrix symmetrisch ist.
Es sei
und sei der Graph zu mit dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld und
die Parametrisierung des Graphen. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu .
Es sei
und sei der Graph zu mit dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld und
die Parametrisierung des Graphen. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu .
Wir betrachten die Einheitskugeloberfläche mit dem nach außen zeigenden Einheitsnormalenfeld und der Parametrisierung
siehe Beispiel 17.6. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu .
Wir betrachten die Einheitskugeloberfläche mit dem nach außen zeigenden Einheitsnormalenfeld und der Parametrisierung
siehe Beispiel 17.7. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu .
Bestimme die Weingartenabbildung bezüglich der Basis für die verschiedenen Parametrisierungen der Einheitskugel aus Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8.
Bestimme die Gaußkrümmung der Einheitskugel mit Hilfe der verschiedenen Parametrisierungen aus Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8 unter Verwendung von Lemma 19.3 (4).
Es sei eine Kurve im . Bringe die Krümmung mit der zweiten Fundamentalmatrix in Verbindung.
Es sei eine orientierte Fläche und sei
, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von mit den Parametern . Es sei die erste Fundamentalmatrix auf . Zeige, dass die Gaußsche Krümmung die Beziehung
gilt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
und sei der Graph zu mit dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld und
die Parametrisierung des Graphen. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Einheitskugeloberfläche mit dem nach außen zeigenden Einheitsnormalenfeld und der Parametrisierung
siehe Beispiel 17.8. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu .
Es sei eine differenzierbare bogenparametrisierte injektive Kurve mit der Bildkurve
die in der offenen Teilmenge abgeschlossen sei. Wir betrachten den Zylinder über diesen Kurven, also die Abbildung
- Berechne die erste und die zweite Fundamentalmatrix von ,
- Berechne die Weingartenabbildung bezüglich der Basis .
- Berechne die Hauptkrümmungen von .
- Berechne die Gaußkrümmung von .