Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 19

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die zweite Fundamentalmatrix symmetrisch ist.

Aufgabe

Es sei

$\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-xy-y^{3},$

und sei ${}Y$ der Graph zu ${}\psi$ mit dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld und

$\varphi =\operatorname {Id} \times \psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow Y$

die Parametrisierung des Graphen. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu ${}\varphi$.

Aufgabe

Es sei

$\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto e^{xy}-x^{2}y^{3}\sin \left(x-y^{2}\right),$

und sei ${}Y$ der Graph zu ${}\psi$ mit dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld und

$\varphi =\operatorname {Id} \times \psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow Y$

die Parametrisierung des Graphen. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu ${}\varphi$.

Aufgabe

Wir betrachten die Einheitskugeloberfläche mit dem nach außen zeigenden Einheitsnormalenfeld und der Parametrisierung

$\varphi \colon [0,2\pi ]\times [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto \left({\sqrt {1-v^{2}}}\cos u,\,{\sqrt {1-v^{2}}}\sin u,\,v\right),$

siehe Beispiel 17.6. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu ${}\varphi$.

Aufgabe

Wir betrachten die Einheitskugeloberfläche mit dem nach außen zeigenden Einheitsnormalenfeld und der Parametrisierung

$\varphi \colon [0,2\pi ]\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {1+v^{2}}}}(\cos u,\sin u,v),$

siehe Beispiel 17.7. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu ${}\varphi$.

Aufgabe

Bestimme die Weingartenabbildung bezüglich der Basis ${}\partial _{1}\varphi ,\partial _{2}\varphi$ für die verschiedenen Parametrisierungen ${}\varphi$ der Einheitskugel aus Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8.

Aufgabe

Bestimme die Gaußkrümmung der Einheitskugel mit Hilfe der verschiedenen Parametrisierungen ${}\varphi$ aus Beispiel 17.6, Beispiel 17.7 und Beispiel 17.8 unter Verwendung von Lemma 19.3  (4).

Aufgabe

Es sei ${}Y$ eine Kurve im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Bringe die Krümmung mit der zweiten Fundamentalmatrix in Verbindung.

Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte Fläche und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von ${}Y$ mit den Parametern ${}u,v$. Es sei ${}{\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf ${}V$. Zeige, dass die Gaußsche Krümmung die Beziehung

${}K={\frac {1}{{\left(g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}\right)}^{2}}}{\left(\det {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\partial _{2}^{2}g_{11}+\partial _{1}\partial _{2}g_{12}-{\frac {1}{2}}\partial _{1}^{2}g_{22}&{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{11}&\partial _{1}g_{12}-{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{11}\\\partial _{2}g_{12}-{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{22}&g_{11}&g_{12}\\{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{22}&g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}-\det {\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{11}&{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{22}\\{\frac {1}{2}}\partial _{2}g_{11}&g_{11}&g_{12}\\{\frac {1}{2}}\partial _{1}g_{22}&g_{12}&g_{22}\end{pmatrix}}\right)}\,$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

$\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{3}-2x^{2}y-7xy^{3}+x^{2}y^{2}+5y^{4},$

und sei ${}Y$ der Graph zu ${}\psi$ mit dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld und

$\varphi =\operatorname {Id} \times \psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow Y$

die Parametrisierung des Graphen. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu ${}\varphi$.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Einheitskugeloberfläche mit dem nach außen zeigenden Einheitsnormalenfeld und der Parametrisierung

$\varphi \colon {]{-{\frac {\pi }{2}}},{\frac {\pi }{2}}[}\times {]{-\pi },\pi [}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(u,v)\longmapsto (\cos u\cos v,\cos u\sin v,\sin u),$

siehe Beispiel 17.8. Bestimme die zweite Fundamentalmatrix zu ${}\varphi$.

Aufgabe (5 (2+1+1+1) Punkte)

Es sei ${}\gamma \colon ]a,b[\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine differenzierbare bogenparametrisierte injektive Kurve mit der Bildkurve

${}C\subseteq V\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,,$

die in der offenen Teilmenge ${}V$ abgeschlossen sei. Wir betrachten den Zylinder über diesen Kurven, also die Abbildung

$\varphi =\gamma \times \operatorname {Id} _{\mathbb {R} }\colon ]a,b[\times \mathbb {R} \longrightarrow C\times \mathbb {R} .$

1. Berechne die erste und die zweite Fundamentalmatrix von ${}\varphi$,
2. Berechne die Weingartenabbildung bezüglich der Basis ${}\partial _{1}\varphi ,\partial _{2}\varphi$.
3. Berechne die Hauptkrümmungen von ${}C\times \mathbb {R}$.
4. Berechne die Gaußkrümmung von ${}C\times \mathbb {R}$.