- Die Weingartenabbildung für parametrisierte Mannigfaltigkeiten
Es sei
offen,
eine zweifach
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei in jedem Punkt von
regulär
sei. Es sei
-
mit
offen eine diffeomorphe Parametrisierung einer offenen Menge
,
man kann also als eine
Karte
für auffassen. Dabei ist
für
mit
-
es liegt also ein linearer Isomorphismus
-
vor, der den Tangentialraum beschreibt. Die Standardbasisvektoren werden auf
abgebildet und bilden eine Basis des Tangentialraumes. Wenn man
mit der von der euklidischen Struktur des induzierten
riemannschen Struktur
versieht, so erhält man die Funktionen
-
die man zur ersten Fundamentalmatrix
(metrischen Fundamentalmatrix)
-
zusammenfasst. Die erste Fundamentalmatrix ist durch die riemannsche Struktur von vollständig bestimmt.
Die
Weingartenabbildung
-
kann man bezüglich der Basis beschreiben. Dies geschieht am besten, wenn man die sogenannte zweite Fundamentalmatrix einführt. Dazu sei durch ein
Einheitsnormalenfeld
orientiert,
was unter Rückgriff auf die beschreibende Funktion möglich ist. Das Einheitsnormalenfeld eingeschränkt auf kann man unmittelbar auf auffassen. Wegen der vorausgesetzten zweifachen stetigen Differenzierbarkeit von und der von ist das Einheitsnormalenfeld auf differenzierbar. Wir definieren.
Es sei
offen,
eine zweifach
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei in jedem Punkt von
regulär
sei. Es sei
-
,
eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge
mit den Parametern . Es sei durch ein
Einheitsnormalenfeld
orientiert,
wobei wir als Feld auf auffassen. Dann setzt man
-
Die
zweite Fundamentalmatrix
zu ist die
(von
)
abhängige Matrix
-
In dieser Definition wird auf das Einheitsnormalenfeld und über das Skalarprodukt auf die riemannsche Struktur von Bezug genommen. Die zweite Fundamentalmatrix ist nach
dem Satz von Schwarz
symmetrisch.
Es sei
offen,
eine zweifach
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei in jedem Punkt von
regulär
sei. Es sei
-
,
eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge
mit den Parametern . Es sei durch ein
Einheitsnormalenfeld
orientiert,
wobei wir als Feld auf auffassen.
Dann gilt
-
Da das
Einheitsnormalenfeld
senkrecht auf den
Tangentialräumen
an steht, gilt
-
Daraus folgt
-
was die erste Gleichung ergibt. Die zweite folgt direkt aus der Definition der Weingartenabbildung.
Wir beschränken uns nun auf den Fall
.
Es liegt die erste Fundamentalmatrix
-
mit
-
vor, wobei wir im jetzigen Kontext die erste Bezeichnung vorziehen, und die zweite Fundamentalmatrix
-
vor. Für die in der folgenden Aussage aufgeführten Voraussetzungen sagt man auch kurz, dass eine orientierte Fläche oder eine stückweise parametrisierte orientierte Fläche im vorliegt.
Es sei
offen,
eine zweifach
stetig differenzierbare Funktion
und
die
Faser
zu
,
wobei in jedem Punkt von
regulär
sei. Es sei
-
,
eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge
mit den Parametern . Es sei durch ein
Einheitsnormalenfeld
orientiert,
wobei wir als Feld auf auffassen. Es sei die
erste
und die
zweite Fundamentalmatrix
zu . Zu
sei die Matrix, die die
Weingartenabbildung
-
bezüglich der Basis
und
von beschreibt. Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist
-
- Es ist
-
- Es ist
-
und
-
- Für die
Gaußkrümmung
von gilt
-
- Es ist nach Definition von
-
und
-
Daher ist nach
Lemma 19.2
-
- Das folgt unmittelbar aus (1) durch Multiplikation mit von links.
- Es ist
-
und somit folgt die Aussage aus (2) unter Berücksichtigung von
-
Damit ist
-
und somit
und
- Die Gaußkrümmung ist die Determinante der Weingartenabbildung, daher folgt die Aussage aus (2) mit
dem Determinantenmultiplikationssatz.
- Die Gaußkrümmung als intrinsisches Konzept
Beispiel 18.5
zeigt, dass es Isometrien zwischen riemannschen Flächen
(etwa zwischen einem ebenen Flächenstück und einem Zylindermantel)
gibt, unter den die Weingartenabbildung und die Hauptkrümmungen nicht erhalten bleiben. In der Ebene ist die Weingartenabbildung die Nullabbildung, auf dem Zylinder besitzt sie die Eigenwerte und , wenn den Radius bezeichnet. Allerdings ist das Produkt der Eigenwerte, also die Determinante der Weingartenabbildung, die ja wiederum die Gaußsche Krümmung ist, für beide Flächen gleich . Wir werden in der Tat zeigen, dass die Gaußsche Krümmung einer Fläche im allein durch die riemannsche Struktur bestimmt ist.
Es sei
eine zweifach stetig differenzierbare
orientierte Fläche
und sei
-
offen,
eine zweifach stetig differenzierbare lokale Parametrisierung von mit den Parametern . Es sei das
Einheitsnormalenfeld
aufgefasst auf . Es sei
die
zweite Fundamentalmatrix
zu . Dann nennt man die punktweise über die linearen Gleichungssysteme
-
-
-
-
definierten Funktionen
-
die
Christoffelsymbole
zu .
Man beachte, dass in jedem Punkt
eine Basis des bilden und dass daher überhaupt jeder Vektor mit eindeutigen Koeffizienten als Linearkombination bezüglich dieser Basis geschrieben werden kann. Allerdings variiert die Basis mit und entsprechend sind die Christoffelsymbole Funktionen. Da normiert ist und senkrecht auf den beiden anderen Basisvektoren steht, ergibt sich der Koeffizient, der sich auf bezieht, als Skalarprodukt
.
Es ist
Somit ist
Es liegt also die Matrixbeziehung
-
vor, woraus durch Multiplikation mit die Behauptung folgt.