Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 18
- Übungsaufgaben
Es seien riemannsche Mannigfaltigkeiten. Zeige die folgenden Eigenschaften.
- Die Identität
ist eine Isometrie.
- Wenn eine Isometrie ist, so ist auch die Umkehrabbildung eine Isometrie
- Wenn und Isometrien sind, so ist auch eine Isometrie.
Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Menge der Isometrien auf eine Gruppe bilden.
Es sei
Zeige, dass eine lokale Isometrie von riemannschen Mannigfaltigkeiten ist, wenn man und mit der euklidischen Struktur und mit der induzierten riemannschen Struktur versieht.
Es sei eine lineare Abbildung, der sei mit seiner euklidischen Struktur und mit der induzierten riemannschen Struktur versehen. Zeige, dass genau dann eine lineare Isometrie ist, wenn eine Isometrie bezüglich der riemannschen Struktur ist.
Es sei ein offenes Intervall und
eine injektive stetig differenzierbare Kurve. Wir fassen sowohl als auch über ihre euklidische Struktur als riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Es sei vorausgesetzt, dass mit offen eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist. Zeige, dass genau dann eine Isometrie
vorliegt, wenn bogenparametrisiert ist.
Es seien riemannsche Mannigfaltigkeiten und seien und Isometrien. Zeige, dass auch
eine Isometrie ist.
Wir betrachten den Diffeomorphismus
wobei der Zylinder mit der riemannschen Produktstruktur versehen sei. Beschreibe die riemannsche Struktur auf , die sich ergibt, wenn eine Isometrie werden soll.
Es seien und positive reelle Zahlen mit , wir betrachten den (eingebetteten) Torus
mit der induzierten riemannschen Struktur. Zeige, dass zu jedem die Abbildung
eine Isometrie von in sich induziert.
Berechne die Länge des linearen Weges von nach in der Poincaréschen Halbebene.
Berechne den Flächeninhalt des Rechteckes in der Poincaréschen Halbebene, das durch die Eckpunkte gegeben ist.
Zeige, dass durch die Abbildungen
und
eine biholomorphe Abbildung zwischen der oberen Halbebene und der offenen Einheitskreisscheibe gegeben ist.
Bestimme die partiellen Ableitungen der Abbildung
Bestimme die Durchstoßungspunkte zur Geraden, die durch und einem Punkt mit verläuft, mit dem zweischaligen Hyperboloid, siehe Beispiel 18.11.
Es seien und zwei - Mannigfaltigkeiten. Eine stetige Abbildung
heißt ein -lokaler Diffeomorphismus, wenn es zu jedem Punkt eine offene Umgebung gibt, dass ein Diffeomorphismus zwischen und induziert.
- Aufgaben zum Abgeben
Wir betrachten die Ellipsoidoberfläche
mit der vom umgebenden Raum induzierten riemannschen Struktur. Bestimme die linearen Isometrien des , die eine Isometrie auf induzieren.
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien differenzierbare Mannigfaltigkeiten,
sei ein lokaler Diffeomorphismus und sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass es eine eindeutige riemannsche Struktur auf derart gibt, dass zu einer lokalen Isometrie wird.
Aufgabe (3 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für eine riemannsche Mannigfaltigkeit und einen Diffeomorphismus
der keine Isometrie ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Berechne die Länge des oberen Halbkreies mit Radius von nach in der Poincaréschen Halbebene.
Aufgabe (4 Punkte)
Berechne den Flächeninhalt des Kreies mit Mittelpunkt und Radius in der Poincaréschen Halbebene.
Aufgabe (4 Punkte)
Beschreibe eine explizite Isometrie zwischen der Poincaréschen Halbebene und der oberen Schale des zweischaligen Hyperboloids.
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