Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 20



Übungsaufgaben

Bestimme die äußere Ableitung der - Differentialform

auf dem .



Bestimme die äußere Ableitung der - Differentialform

auf dem .



Berechne die äußere Ableitung der - Differentialform

auf .



Berechne die äußere Ableitung der Differentialform

auf dem .



Es sei

die durch

gegeben ist.

a) Berechne die äußere Ableitung von .

b) Berechne die äußere Ableitung von .



Bestimme die äußere Ableitung der - Differentialform

auf dem .



Zeige, dass die - Differentialform auf dem geschlossen und auch exakt ist.



Es sei eine offene Teilmenge und eine - Differentialform, die mit stetig differenzierbaren Funktionen beschrieben werde. Zeige, dass genau dann geschlossen ist, wenn

für alle gilt.



Es sei eine offene Teilmenge und eine stetig differenzierbare - Form auf mit dem gemäß Lemma 16.3 zugehörigen Vektorfeld auf . Zeige, dass genau dann geschlossen ist, wenn die Integrabilitätsbedingung erfüllt.



Es sei eine offene Teilmenge und eine stetig differenzierbare - Form auf mit dem gemäß Lemma 16.3 zugehörigen Vektorfeld auf . Zeige, dass genau dann exakt ist, wenn ein Gradientenfeld ist.



Es sei eine differenzierbare Differentialform auf einer Mannigfaltigkeit und eine auf der Mannigfaltigkeit definierte differenzierbare Abbildung.

  1. Es sei exakt. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform exakt ist.
  2. Es sei geschlossen. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform geschlossen ist.


Für die folgenden Aufgaben vergleiche Beispiel 58.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Beispiel 58.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).


Zeige, dass die - Differentialform

auf dem nicht geschlossen ist.



Zeige, dass die - Differentialform

auf dem geschlossen, aber nicht exakt ist.



Zeige, dass jede stetige - Differentialform auf einer offenen Menge exakt ist.



Es sei eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine differenzierbare - Form auf . Zeige, dass genau dann exakt ist, wenn für jeden stetig differenzierbaren Weg

das Wegintegral nur von und abhängt.



Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Es sei eine differenzierbare - Form auf , wobei die Dimension von sei. Zeige, dass eine geschlossene Differentialform auf ist.



Welche der folgenden Funktionen

lassen sich differenzierbar in den Randpunkt fortsetzen.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. .



Es sei ein Halbraum. Es sei ein Punkt und , wobei eine offene Teilmenge des sei. Zeige, dass kein Randpunkt von ist.



Definiere die Begriffe Diffeomorphismus, totales Differential und höhere Ableitungen für Halbräume (bzw. offene Teilmengen davon).




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die äußere Ableitung der - Differentialform

auf dem .



Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die äußere Ableitung der - Differentialform

auf dem .



Aufgabe (5 Punkte)

Es sei offen und es seien Differentialformen auf , wobei eine - Differentialform sei. Finde und beweise eine Formel für



Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass die Differentialform

auf dem geschlossen und auch exakt ist.



Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die Halbebene und der Quadrant homöomorph sind.




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