Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 20
- Übungsaufgaben
Berechne die äußere Ableitung der Differentialform
auf dem .
Es sei
die durch
gegeben ist.
a) Berechne die äußere Ableitung von .
b) Berechne die äußere Ableitung von .
Zeige, dass die - Differentialform auf dem geschlossen und auch exakt ist.
Es sei eine offene Teilmenge und eine - Differentialform, die mit stetig differenzierbaren Funktionen beschrieben werde. Zeige, dass genau dann geschlossen ist, wenn
für alle gilt.
Es sei eine offene Teilmenge und eine stetig differenzierbare - Form auf mit dem gemäß Lemma 16.3 zugehörigen Vektorfeld auf . Zeige, dass genau dann geschlossen ist, wenn die Integrabilitätsbedingung erfüllt.
Es sei eine offene Teilmenge und eine stetig differenzierbare - Form auf mit dem gemäß Lemma 16.3 zugehörigen Vektorfeld auf . Zeige, dass genau dann exakt ist, wenn ein Gradientenfeld ist.
Es sei eine differenzierbare Differentialform auf einer Mannigfaltigkeit und eine auf der Mannigfaltigkeit definierte differenzierbare Abbildung.
- Es sei exakt. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform exakt ist.
- Es sei geschlossen. Zeige, dass auch die zurückgezogene Differentialform geschlossen ist.
Für die folgenden Aufgaben vergleiche
Beispiel 58.7 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
und
Beispiel 58.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
Zeige, dass jede stetige - Differentialform auf einer offenen Menge exakt ist.
Es sei eine zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine differenzierbare - Form auf . Zeige, dass genau dann exakt ist, wenn für jeden stetig differenzierbaren Weg
das Wegintegral nur von und abhängt.
Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und
eine differenzierbare Abbildung. Es sei eine differenzierbare - Form auf , wobei die Dimension von sei. Zeige, dass eine geschlossene Differentialform auf ist.
Welche der folgenden Funktionen
lassen sich differenzierbar in den Randpunkt fortsetzen.
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Es sei ein Halbraum. Es sei ein Punkt und , wobei eine offene Teilmenge des sei. Zeige, dass kein Randpunkt von ist.
Definiere die Begriffe Diffeomorphismus, totales Differential und höhere Ableitungen für Halbräume (bzw. offene Teilmengen davon).
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei offen und es seien Differentialformen auf , wobei eine - Differentialform sei. Finde und beweise eine Formel für
Aufgabe (5 Punkte)
Aufgabe (6 Punkte)
Zeige, dass die Halbebene und der Quadrant homöomorph sind.
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