Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 21

Übungsaufgaben

Aufgabe

Beschreibe diverse Kleidungsstücke als zweidimensionale Mannigfaltigkeiten mit Rand.

Aufgabe

Definiere die Konzepte differenzierbare Abbildung, Diffeomorphismus, Tangentialraum, Tangentialbündel ... für Mannigfaltigkeiten mit Rand.

Aufgabe

Beschreibe reelle Intervalle als Mannigfaltigkeiten mit Rand. Was ist jeweils der Rand, welche sind untereinander diffeomorph.

Aufgabe

Zeige, dass sowohl das blaue als auch das rote Oberflächenstück einschließlich der Begrenzungslinie eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist. Was ist der Rand? Sind die beiden Mannigfaltigkeiten diffeomorph? Gibt es eine einfachere dazu diffeomorphe Mannigfaltigkeit?

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) und ${}N$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand. Was kann man über das Produkt ${}M\times N$ sagen?

Aufgabe

Zeige, dass der abgeschlossene Annulus

${\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid 1\leq \Vert {P}\Vert \leq 2\right\}}$

und der abgeschlossene Zylinder

$S^{1}\times [0,1]$

zueinander diffeomorphe Mannigfaltigkeiten mit Rand sind.

Aufgabe *

Begründe, dass der ${}\mathbb {R} ^{2}$ keine Struktur einer Mannigfaltigkeit mit Rand derart trägt, dass die angegebene Teilmenge ${}T$ der Rand ist.

a) ${}T={]0,1[}$, wobei das Intervall auf der ${}x$-Achse liegt.

b) ${}T=[0,1]$, wobei das Intervall auf der ${}x$-Achse liegt.

c) ${}T=\mathbb {R}$, wobei ${}\mathbb {R}$ die ${}x$-Achse sei.

d) ${}T=S^{1}$.

Aufgabe

Zeige, dass die zueinander inversen Diffeomorphismen

$\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,z\longmapsto {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}},$

und

$\psi \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {H} },\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}},$

(siehe Aufgabe 18.10) zu Diffeomorphismen (zwischen Mannigfaltigkeiten mit Rand) zwischen der abgeschlossenen Halbebene und der abgeschlossenen punktierten Kreisscheibe ${}B\left(0,1\right)\setminus \{\left(1,\,0\right)\}$ ausgedehnt werden können.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand. Unter einem differenzierbaren Halbweg verstehen wir jede differenzierbare Abbildung

$\gamma \colon [0,\epsilon [\longrightarrow M$

oder

$\gamma \colon ]-\epsilon ,0]\longrightarrow M$

(mit $\epsilon >0$. Sie heißen nach innen bzw. nach außen gerichtet). Definiere, wann zwei Halbwege mit ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P\in M$ tangential äquivalent sind, und zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation gegeben ist, und dass die Quotientenmenge ein reeller Vektorraum ist, der der Tangentialraum in ${}P$ heißt. Charakterisiere die Äquivalenzklassen, die sowohl nach innen als auch nach außen repräsentierbar sind.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand und sei ${}P\in \partial M$ ein Randpunkt. Zeige, dass für einen Tangentialvektor ${}v\in T_{P}M$ folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es gibt einen stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [-\epsilon ,0]\rightarrow M$ mit ${}\gamma (0)=P$ und ${}\gamma '(0)=v$.
2. ${}v$ wird bei jeder Karte mit einem negativen Halbraum unter der Tangentialabbildung auf den rechten Halbraum abgebildet.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand und es sei

$\gamma \colon {]{-\epsilon },\epsilon [}\longrightarrow M$

ein differenzierbarer Weg mit

${}\gamma (0)=P\in \partial M\,.$

Zeige ${}\gamma '(0)\in T_{P}\partial M$.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Zeige, dass jede offene Teilmenge ${}N\subseteq M$ ebenfalls eine Mannigfaltigkeit mit (eventuell leerem) Rand ist, und dass

${}\partial N=\partial M\cap N\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein euklidischer Halbraum und ${}P\in H$. Es gebe eine in ${}\mathbb {R} ^{n}$ offene Menge ${}V$ mit ${}P\in V\subseteq H$. Zeige, dass ${}P$ kein Randpunkt von ${}H$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}U_{1}\subseteq H_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ und ${}U_{2}\subseteq H_{2}\subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen in euklidischen Halbräumen ${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ und es sei

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

ein Diffeomorphismus. Zeige, dass es zu jedem Punkt ${}P\in U_{1}$ offene Umgebungen ${}P\in V_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ und ${}\varphi (P)\in V_{2}\subset \mathbb {R} ^{n}$ und eine diffeomorphe Fortsetzung

${\tilde {\varphi }}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$

gibt.

Aufgabe

Die abgeschlossene Kreisscheibe ${}B\left(0,1\right)$ trage die Standardorientierung des ${}\mathbb {R} ^{2}$. Läuft die durch die äußere Normale festgelegte Orientierung auf dem Rand (also auf dem Einheitskreis) mit dem oder gegen den Uhrzeigersinn?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe für den Kreisring

${}M={\left\{x\in \mathbb {R} ^{2}\mid 1\leq \Vert {x}\Vert \leq 2\right\}}\,$

explizit Karten an, die zeigen, dass ${}M$ eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die Halbebene ${}\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R}$ und der Quadrant ${}\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} _{\geq 0}$ nicht diffeomorph sind.

(Was ist hierbei der geeignete Diffeomorphiebegriff?)

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}M=B\left(0,1\right)\setminus \{(0,1),(0,-1)\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, also die abgeschlossene Kreisscheibe, aus der man zwei Randpunkte herausgenommen hat. Es sei ${}N={]{-1},1[}\times [-1,1]$ das Produkt eines offenen und eines abgeschlossenen Intervalls. Zeige, dass ${}M$ und ${}N$ diffeomorphe Mannigfaltigkeiten mit Rand sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}V_{1},V_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen und es sei

$\varphi \colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$

ein Diffeomorphismus, der eine Homöomorphie zwischen ${}V_{1}\cap H$ und ${}V_{2}\cap H$ induziert und damit auch zwischen ${}V_{1}\cap \partial H$ und ${}V_{2}\cap \partial H$ (${}H$ bezeichnet den Halbraum und ${}\partial H$ seinen Rand). Zeige, dass die Einschränkung auf den Rand ebenfalls ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Die abgeschlossene Einheitskugel ${}B\left(0,1\right)$ trage die Standardorientierung des ${}\mathbb {R} ^{3}$. Bestimme, ob die beiden Tangentenvektoren ${}(2,1,0)$ und ${}(3,-1,0)$ am Nordpol ${}(0,0,1)$ die durch die äußere Normale induzierte Orientierung auf dem Rand (also auf der Einheitssphäre) repräsentieren oder nicht?