Kurs:Elementare Algebra/8/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	0	5	5	5	0	5	6	3	4	3	3	2	0	12	1	60

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Monoid ${}M$.
2. Ein Unterkörper eines Körpers ${}K$.
3. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Ein Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   zwischen Ringen ${}R$ und ${}S$.

5. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$-Vektorraum ${}V$.
6. Die von einer Familie ${}f_{i}\in A$, ${}i\in I$, in einer ${}R$- Algebra ${}A$ erzeugte ${}R$-Algebra.

Lösung

1. Ein Monoid ist eine Menge ${}M$ zusammen mit einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M$

   und einem ausgezeichneten Element ${}e\in M$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.

   1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt

      ${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$

      für alle ${}x,y,z\in M$.

   2. ${}e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt

      ${}x\circ e=x=e\circ x\,$

      für alle ${}x\in M$.

2. Ein Unterring ${}M\subseteq K$, der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von ${}K$.
3. Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
   1. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$.
   2. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$.
4. Die Abbildung

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

   1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
   2. ${}\varphi (1)=1$
   3. ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
5. Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung

   $\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0$

   nur bei ${}a_{i}=0$ für alle ${}i$ möglich ist.

6. Die von der Familie erzeugte Algebra ist die kleinste ${}R$-Unteralgebra von ${}A$, die alle ${}f_{i}$ enthält.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
2. Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
3. Der Charakterisierungssatz für eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Die Binomialkoeffizienten erfüllen die rekursive Beziehung

   ${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,.$

2. Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}a,b,c\in R$. Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und ${}a$ teile das Produkt ${}bc$. Dann teilt ${}a$ den Faktor ${}c$.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. Die Familie ist eine Basis von ${}V$.
   2. Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor ${}v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
   3. Für jeden Vektor ${}u\in V$ gibt es genau eine Darstellung

      $u=s_{1}v_{1}+\cdots +s_{n}v_{n}.$

   4. Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Finde die komplexen Quadratwurzeln von

${}w={\frac {-5+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,$

über den Ansatz

${}(a+b{\mathrm {i} })^{2}=w\,.$

Lösung

Der Ansatz

${}(a+b{\mathrm {i} })^{2}=a^{2}-b^{2}+2ab{\mathrm {i} }=w={\frac {-5+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,$

führt auf die beiden reellen Gleichungen

${}a^{2}-b^{2}={\frac {-5}{2}}\,$

und

${}2ab={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$

Daraus folgt direkt, dass ${}a$ und ${}b$ nicht ${}0$ sein können. Wir lösen die zweite Gleichung nach ${}b$ auf und erhalten

${}b={\frac {\sqrt {3}}{4a}}\,.$

Dies setzen wir in die erste Gleichung ein und erhalten

${}a^{2}-b^{2}=a^{2}-\left({\frac {\sqrt {3}}{4a}}\right)^{2}=a^{2}-\left({\frac {3}{16a^{2}}}\right)=-{\frac {5}{2}}\,.$

Multiplikation mit ${}a^{2}$ und umstellen ergibt

${}a^{4}+{\frac {5}{2}}a^{2}-{\frac {3}{16}}=0\,.$

Dies ist eine biquadratische Gleichung, die zugrunde liegende quadratische Gleichung ist (mit ${}y=a^{2}$)

${}y^{2}+{\frac {5}{2}}y-{\frac {3}{16}}=0\,$

mit den Lösungen

${}y_{1},y_{2}={\frac {-{\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {25}{4}}+{\frac {3}{4}}}}}{2}}={\frac {-{\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {\frac {28}{4}}}}{2}}={\frac {-{\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {7}}}{2}}=-{\frac {5}{4}}\pm {\frac {\sqrt {7}}{2}}\,.$

Dabei ist

${}y_{1}=-{\frac {5}{4}}+{\frac {\sqrt {7}}{2}}={\frac {1}{4}}{\left(-5+2{\sqrt {7}}\right)}\,$

positiv und besitzt die reellen Quadratwurzeln

${}a_{1},a_{2}=\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}\,$

und somit sind die komplexen Quadratwurzeln von ${}w$ gleich

${}z_{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}+{\frac {\sqrt {3}}{2{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}}}{\mathrm {i} }\,$

und

${}z_{2}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}-{\frac {\sqrt {3}}{2{\sqrt {-5+2{\sqrt {7}}}}}}{\mathrm {i} }\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich ist.

Lösung

Es seien ${}w,z\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$, ${}z\neq 0$. Wir betrachten den Quotienten

${}{\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{z{\bar {z}}}}=q_{1}+q_{2}{\mathrm {i} }\,.$

Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also ${}q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q}$. Es gibt ganze Zahlen ${}a_{1},a_{2}$ mit ${}\vert {q_{1}-a_{1}}\vert ,\vert {q_{2}-a_{2}}\vert \leq 1/2$. Damit ist

${}q_{1}+q_{2}{\mathrm {i} }=a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }+(q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\,$

mit ${}a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Ferner ist

${}{\begin{aligned}N((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} })&=(q_{1}-a_{1})^{2}+(q_{2}-a_{2})^{2}\\&\leq {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\\&<1.\end{aligned}}$

Multiplikation mit ${}z$ ergibt

${}w=z(a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} })+z((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} })\,.$

Der rechte Summand gehört dabei zu ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$, da man ihn als ${}w-z(a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} })$ schreiben kann. Aus der Multiplikativität der Norm folgt

$N{\left(z{\left((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\right)}\right)}=N(z)N{\left((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\right)}<N(z)\,.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}116901$ und ${}138689$.

Lösung

Wir bestimmen zuerst den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen mit Hilfe des euklidischen Algorithmus. Es ist

${}138689=116901+21788\,.$

Sodann ist

${}116901=5\cdot 21788+7961\,,$

${}21788=2\cdot 7961+5866\,,$

${}7961=5866+2095\,,$

${}5866=2\cdot 2095+1676\,,$

${}2095=1676+419\,,$

${}1676=4\cdot 419\,.$

Der ${}\operatorname {GgT}$ der beiden Zahlen ist also ${}419$. Daher ist das ${}\operatorname {KgV}$ der beiden Zahlen nach Fakt ***** gleich

${}{\frac {116901\cdot 138689}{419}}=279\cdot 138689=38694231\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Finde unter den Zahlen ${}\leq 1000$ diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.

Lösung

Wir betrachten direkt die Primfaktorzerlegungen

${}n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}\,,$

woraus direkt die Teileranzahl

$(k_{1}+1)(k_{2}+1)\cdots (k_{r}+1)$

ablesbar ist. Da ${}n$ klein sein soll, können wir direkt mit den ersten Primzahlen arbeiten und ferner

${}k_{1}\geq k_{2}\geq \ldots \geq k_{r}\,$

annehmen. Bei ${}r=1$ ist

${}2^{9}=512<1000\,,$

welches ${}10$ Teiler besitzt, ${}2^{10}$ ist schon zu groß. Bei ${}r=2$ besitzt (wir führen nur ernsthafte Kandidaten auf)

${}2^{8}\cdot 3=768\,$

${}18$ Teiler,

${}2^{6}\cdot 3^{2}=576\,$

hat ${}21$ Teiler,

${}2^{5}3^{3}=864\,$

hat ${}24$ Teiler,

${}2^{4}3^{4}=1296>1000\,.$

Bei ${}r=3$ besitzt

${}2^{6}\cdot 3\cdot 5=960\,$

${}28$ Teiler,

${}2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5=720\,$

hat ${}30$ Teiler,

${}2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5=1080\,$

ist zu groß,

${}2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}=900\,$

hat ${}27$ Teiler. Bei ${}r=3$ besitzt

${}2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7=840\,$

${}32$ Teiler.

${}2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7=1260\,$

ist zu groß. Wegen

${}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310>1000\,$

kann es nicht mehr Primfaktoren geben. Also besitzt ${}840$ unter allen Zahlen unterhalb von ${}1000$ die maximale Anzahl an Teilern, nämlich ${}32$.

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}M={\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in K,\,ad-bc\neq 0\right\}}\,$

die Menge aller invertierbaren ${}2\times 2$- Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass ${}M$ mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

$M\longrightarrow K^{\times },\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad-bc,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Lösung 2x2-Matrizen/Determinante/Direkt/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi (e_{G})=e_{H}$ und ${}(\varphi (g))^{-1}=\varphi (g^{-1})$ für jedes ${}g\in G$ ist.

Lösung

Zum Beweis der ersten Aussage betrachten wir

${}\varphi (e_{G})=\varphi (e_{G}e_{G})=\varphi (e_{G})\varphi (e_{G})\,.$

Durch Multiplikation mit ${}\varphi (e_{G})^{-1}$ folgt ${}e_{H}=\varphi (e_{G})$.
Zum Beweis der zweiten Behauptung verwenden wir

${}\varphi {\left(g^{-1}\right)}\varphi (g)=\varphi {\left(g^{-1}g\right)}=\varphi (e_{G})=e_{H}\,.$

Das heißt, dass ${}\varphi {\left(g^{-1}\right)}$ die Eigenschaft besitzt, die für das Inverse von ${}\varphi (g)$ charakteristisch ist. Da das Inverse in einer Gruppe nach Fakt ***** eindeutig bestimmt ist, muss ${}\varphi {\left(g^{-1}\right)}=(\varphi (g))^{-1}$ gelten.

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten in der Gruppe ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2}$ die Untergruppe

${}U=\langle {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle ={\left\{a{\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

und die zugehörige Äquivalenzrelation.

a) Skizziere die Punkte (eine sinnvolle Auswahl) aus ${}U$ (als Punkte in ${}\mathbb {Z} ^{2}$) mit einer Farbe.

b) Skizziere mit verschiedenen Farben die verschiedenen Äquivalenzklassen (Nebenklassen).

c) Wie viele Äquivalenzklassen gibt es? Beschreibe ein Repräsentantensystem.

d) Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Farben. Welche Farben sind zueinander invers?

Lösung Zweidimensionales Gitter/(3,0) und (1,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

1. Berechne das Produkt

   ${\left(2-3X+X^{2}\right)}\cdot {\left(-5+4X-3X^{2}\right)}$

   im Polynomring ${}\mathbb {Q} [X]$.

2. Berechne das Produkt

   ${\left(2-3{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}\right)}\cdot {\left(-5+4{\sqrt {2}}-3{\sqrt {2}}^{2}\right)}$

   in ${}\mathbb {R}$ auf zwei verschiedene Arten.

Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}(2-3X+X^{2})\cdot (-5+4X-3X^{2})&=-10+8X+15X-6X^{2}-5X^{2}-12X^{2}+4X^{3}+9X^{3}-3X^{4}\\&=-10+23X-23X^{2}+13X^{3}-3X^{4}.\,\end{aligned}}$

2. Es ist einerseits direkt

   ${}{\begin{aligned}(2-3{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2})\cdot (-5+4{\sqrt {2}}-3{\sqrt {2}}^{2})&={\left(4-3{\sqrt {2}}\right)}{\left(-11+4{\sqrt {2}}\right)}\\&=-44-12\cdot 2+(16+33){\sqrt {2}}\\&=-68+49{\sqrt {2}}.\end{aligned}}$

   Andererseits kann man im Ergebnis von Teil 1 die Variable ${}X$ durch ${}{\sqrt {2}}$ ersetzen und erhält

   ${}{\begin{aligned}-10+23{\sqrt {2}}-23{\sqrt {2}}^{2}+13{\sqrt {2}}^{3}-3{\sqrt {2}}^{4}&=-10+23{\sqrt {2}}-23\cdot 2+13\cdot 2{\sqrt {2}}-3\cdot 4\\&=-68+49{\sqrt {2}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung ${}\varphi$, welche nicht?

Lösung

Es ist

${}\varphi (a+b)={\begin{pmatrix}a+b&0\\0&1\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}a+b&0\\0&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b&0\\0&1\end{pmatrix}}=\varphi (a)+\varphi (b)\,,$

die Abbildung ist also nicht mit der Addition verträglich.

Es ist

${}\varphi (a\cdot b)={\begin{pmatrix}a\cdot b&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b&0\\0&1\end{pmatrix}}=\varphi (a)\cdot \varphi (b)\,,$

die Abbildung ist also mit der Multiplikation verträglich.

Es ist

${}\varphi (1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,$

die Abbildung bildet also die ${}1$ auf die ${}1$ ab. Insgesamt liegt kein Ringhomomorphismus vor.

Aufgabe (2 Punkte)

Bildet im Ring aller rationalen Folgen die Teilmenge der in ${}\mathbb {Q}$ konvergenten Folgen ein Ideal?

Lösung

Die konstante Folge ${}x_{n}=1$ ist eine konvergente Folge. Die Folge ${}y_{n}=n$ gehört zum rationalen Folgenring ${}\mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }$, es ist ${}x_{n}y_{n}=y_{n}$ und dies ist nicht konvergent. Es liegt also kein Ideal vor.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (12 Punkte)

Beweise den Charakterisierungssatz für eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

Wir führen einen Ringschluss durch. ${}(1)\Rightarrow (2)$. Die Familie ist ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir ${}v_{1}$, aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also ${}v_{2},\ldots ,v_{n}$ kein Erzeugendensystem mehr ist.  Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere ${}v_{1}$ als Linearkombination der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte

${}v_{1}=\sum _{i=2}^{n}s_{i}v_{i}\,.$

Dann ist aber

${}v_{1}-\sum _{i=2}^{n}s_{i}v_{i}=0\,$

eine nichttriviale Darstellung der ${}0$, im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie. ${}(2)\Rightarrow (3)$. Nach Voraussetzung ist die Familie ein Erzeugendensystem, sodass sich jeder Vektor als Linearkombination darstellen lässt.  Angenommen, es gibt für ein ${}u\in V$ eine mehrfache Darstellung, d.h.

${}u=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}\,,$

wobei mindestens ein Koeffizient verschieden sei. Ohne Einschränkung sei ${}s_{1}\neq t_{1}$. Dann erhält man die Beziehung

${}(s_{1}-t_{1})v_{1}=\sum _{i=2}^{n}(t_{i}-s_{i})v_{i}\,$

Wegen ${}s_{1}-t_{1}\neq 0$ kann man durch diese Zahl dividieren und erhält eine Darstellung von ${}v_{1}$ durch die anderen Vektoren. Nach Aufgabe ***** ist auch die Familie ohne ${}v_{1}$ ein Erzeugendensystem von ${}V$, im Widerspruch zur Minimalität. ${}(3)\Rightarrow (4)$. Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit besitzt insbesondere der Nullvektor nur die triviale Darstellung, d.h. die Vektoren sind linear unabhängig. Nimmt man einen Vektor ${}u$ hinzu, so besitzt dieser eine Darstellung

${}u=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$

und daher ist

${}0=u-\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$

eine nichttriviale Darstellung der ${}0$, sodass die verlängerte Familie ${}u,v_{1},\ldots ,v_{n}$ nicht linear unabhängig ist. ${}(4)\Rightarrow (1)$. Die Familie ist linear unabhängig, wir müssen zeigen, dass sie auch ein Erzeugendensystem bildet. Es sei dazu ${}u\in V$. Nach Voraussetzung ist die Familie ${}u,v_{1},\ldots ,v_{n}$ nicht linear unabhängig, d.h. es gibt eine nichttriviale Darstellung

${}0=su+\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,.$

Dabei ist ${}s\neq 0$, da andernfalls dies eine nichttriviale Darstellung der ${}0$ allein mit den linear unabhängigen Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ wäre. Daher können wir

${}u=-\sum _{i=1}^{n}{\frac {s_{i}}{s}}v_{i}\,$

schreiben, sodass eine Darstellung von ${}u$ möglich ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ${}\zeta _{11}$ die elfte primitive komplexe Einheitswurzel. Wie oft wird in der Familie ${}\zeta _{11}^{i}$, ${}i=1,\ldots ,100$, die ${}1$ durchlaufen?

Lösung

Dies geschieht für

${}i=11,22,\ldots ,99\,,$

also neunmal.