Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 6

Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen ${}25,30,36$ sowie all ihrer positiven Teiler.

Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring ${}R$:

1. Für jedes Element ${}a$ gilt ${}1|a$ und ${}a|a$.
2. Für jedes Element ${}a$ gilt ${}a|0$.
3. Gilt ${}a|b$ und ${}b|c$, so gilt auch ${}a|c$.
4. Gilt ${}a|b$ und ${}c|d$, so gilt auch ${}ac|bd$.
5. Gilt ${}a|b$, so gilt auch ${}ac|bc$ für jedes ${}c\in R$.
6. Gilt ${}a|b$ und ${}a|c$, so gilt auch ${}a|rb+sc$ für beliebige Elemente ${}r,s\in R$.

Aufgabe

Zeige, dass für je zwei ganze Zahlen ${}a,b\in \mathbb {Z}$ aus

$a{|}b{\text{ und }}b{|}a$

die Beziehung ${}a=\pm b$ folgt.

Aufgabe *

Zeige, dass für jede ungerade Zahl ${}n$ die Zahl ${}25n^{2}-17$ ein Vielfaches von ${}8$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine natürliche Zahl ${}n$ genau dann gerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich ${}0,2,4,6$ oder ${}8$ ist.

Aufgabe

Formuliere und beweise (bekannte) Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler ${}k=2,3,5,9,11$.

Aufgabe

Betrachte im ${}15$er System mit den Ziffern ${}0,1,\ldots ,8,9,A,B,C,D,E$ die Zahl

$EA09B4CA.$

Ist diese Zahl durch ${}7$ teilbar?

Aufgabe *

Es seien ${}a,b\geq 2$ und sei ${}n=ab$.

a) Zeige, dass die beiden Polynome ${}X^{a}-1$ und ${}X^{b}-1$ Teiler des Polynoms ${}X^{n}-1$ sind.

b) Es sei ${}a\neq b$. Ist ${}(X^{a}-1)(X^{b}-1)$ stets ein Teiler von ${}X^{n}-1$

c) Man gebe drei Primfaktoren von ${}2^{30}-1$ an.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ und seien ${}F,G\in K[X]$ zwei Polynome. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass ${}F$ ein Teiler von ${}G$ in ${}K[X]$ genau dann ist, wenn ${}F$ ein Teiler von ${}G$ in ${}L[X]$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Assoziiertheit in einem kommutativen Ring eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe

Zeige, dass in einem kommutativen Ring ${}R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

1. Sind ${}a$ und ${}b$ assoziiert, so gilt ${}a|c$ genau dann, wenn ${}b|c$.
2. Ist ${}R$ ein Integritätsbereich, so gilt hiervon auch die Umkehrung.

Aufgabe

Zeige, dass die Primzahlen ${}2,3,5$ Primelemente in ${}\mathbb {Z}$ sind.

Aufgabe

Zeige, dass im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ die Variable ${}X$ irreduzibel und prim ist.

Aufgabe

Zeige, dass im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ die linearen Polynome ${}aX+b$ (${}a\neq 0$) irreduzibel und prim ist.

Aufgabe

Bestimme im Polynomring ${}F_{2}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${}2,3,4$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}r\in R$ ein Element, das keine Quadratwurzel in ${}R$ besitze. Zeige, dass das Polynom ${}X^{2}-r\in R[X]$ irreduzibel ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.

Hinweis: Der Zwischenwertsatz hilft.

Aufgabe

Zeige, dass das Polynom ${}X^{3}+2X^{2}-5$ in ${}\mathbb {Q} [X]$ irreduzibel ist.

Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}105$ und ${}150$.

Aufgabe

Es sei ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Menge von ganzen Zahlen. Zeige, dass der nichtnegative größte gemeinsame Teiler der ${}a_{i}$ mit demjenigen gemeinsamen Teiler übereinstimmt, der bezüglich der Ordnungsrelation ${}\geq$ der größte gemeinsame Teiler ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}R[X]$ der Polynomring darüber. Zeige, dass ein Polynom der Form ${}X+c$ ein Primelement ist.

Man gebe auch ein Beispiel, dass dies für Polynome der Form ${}aX+c$ nicht gelten muss.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte den Unterring

${}R=K[X^{2},X^{3},X^{4},X^{5},\ldots ]\subset K[X]\,.$

Zeige, dass die Elemente ${}X^{2}$ und ${}X^{3}$ in ${}R$ irreduzibel, aber nicht prim sind.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme im Polynomring ${}F_{3}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${}4$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die irreduziblen Elemente in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$, deren Norm kleinergleich ${}5$ ist.

In der folgenden Aufgabe sind die Eigenschaften prim und irreduzibel in einem Monoid zu verstehen, ohne dass ein Ring vorliegt.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Menge ${}M$, die aus allen positiven natürlichen Zahlen besteht, in deren Primfaktorzerlegung (in ${}\mathbb {N}$) eine gerade Anzahl (mit Vielfachheiten gezählt) von Primfaktoren vorkommt. Zeige, dass ${}M$ ein multiplikatives Untermonoid ist. Man charakterisiere die irreduziblen Elemente und die Primelemente in ${}M$.