Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 8/kontrolle
- Übungsaufgaben
Finde eine Darstellung der (im Sinne des Lemmas von Bezout) für die folgenden Zahlenpaare: und ; und ; und .
Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über einen - und einen -Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Kann sie diesen Auftrag erfüllen?
Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen und . Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position bzw. . Welche Flöhe können sich treffen?
Es seien und natürliche Zahlen, deren Produkt von einer natürlichen Zahl geteilt werde. Die Zahlen und seien teilerfremd. Zeige, dass von geteilt wird.
Es seien und teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung der Gleichung
die Gestalt mit einer eindeutig bestimmten Zahl besitzt.
Es seien und teilerfremde ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz mit gibt, deren Rest bei Division durch gleich ist.
Es sei
eine Primzahl. Zeige, dass es eine natürliche Zahl der Form (im Dezimalsystem)
gibt, die ein Vielfaches von ist.
Zeige, dass in einem Hauptidealbereich zu beliebigen Elementen sowohl ein größter gemeinsame Teiler als auch ein kleinstes gemeinsames Vielfaches existieren.
Es seien zwei irreduzible, nicht assoziierte Elemente in einem Integritätsbereich. Zeige, dass und teilerfremd sind.
Betrachte den Unterring
![{\displaystyle {}R=K[X^{2},X^{3},X^{4},X^{5},\ldots ]\subset K[X]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af47aa4810217c52cb3cae29eb9318830dc66ed1)
Zeige, dass für die Elemente und kein kleinstes gemeinsames Vielfaches existiert.
Betrachte den Unterring
Zeige, dass für die Elemente und ein größter gemeinsamer Teiler existiert, dieser aber nicht als Linearkombination daraus darstellbar ist.
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und . Man gebe eine Darstellung des von und an.
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .
![{\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05854fb7f5090d865105d7297fa178c8eb802fbf)
Statt für eine Primzahl schreiben wir gelegentlich auch .
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .
![{\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{3}[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408ed618207bbfb6242e04641768b91ba355553c)
Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a7b82444e46cc862c5f6049ef5771c5286c116)
Zeige, dass und der Polynomring in zwei Variablen über einem Körper keine Hauptidealbereiche sind.
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/192c251bd578fa7224f44f5d4539c9813b31aa46)
![{\displaystyle {}K[X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2979004ad27b9ba60c428e400cbf04d9f0957730)
Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten eine digitale Uhr, die Stunden, Minuten und Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer Stunden, Minuten und Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über -, - und -Liter Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Integritätsbereich und ein Element. Zeige, dass genau dann irreduzibel ist, wenn das Hauptideal unter allen vom Einheitsideal verschiedenen Hauptidealen maximal ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .
![{\displaystyle {}{\mathbb {C} }[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c156a1899277cd3bf3b7edc239bc1abafd7339a7)
Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome und .
![{\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{5}[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/331da43c9199a772b8d62e29d2918754f18351de)
Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und ein Unterring. Bestätige oder widerlege die folgenden Aussagen.
- Zu einem Ideal ist auch ein Ideal (in ).
- Zu einem Radikal ist auch ein Radikal.
- Zu einem Primideal ist auch ein Primideal.
- Zu einem maximalen Ideal ist auch ein maximales Ideal.
