Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 1/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Menge

${\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid 3\leq \operatorname {Re} \,{\left(z\right)}\leq 5,\,2\leq \operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\leq 3\right\}}.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Berechne

$(4-7{\mathrm {i} })(5+3{\mathrm {i} }).$

b) Bestimme das inverse Element ${}z^{-1}$ zu

${}z=3+4{\mathrm {i} }\,.$

c) Welchen Abstand hat ${}z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}A:=\{z\in {\mathbb {C} }:\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\geq (\operatorname {Re} \,{\left(z\right)})^{2}+1\}\subset {\mathbb {C} }$. Zeige die folgende Aussage: Sind ${}z_{1},z_{2}\in A$ und ist ${}\lambda \in [0,1]$, so ist auch ${}\lambda z_{1}+(1-\lambda )z_{2}\in A$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}n$ komplexe Zahlen ${}z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}$ in der Kreisscheibe ${}B$ mit Mittelpunkt ${}(0,0)$ und Radius ${}1$, also in ${}B={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert \leq 1\right\}}$, gegeben. Zeige, dass es einen Punkt ${}w\in B$ mit der Eigenschaft

${}\sum _{i=1}^{n}\vert {z_{i}-w}\vert \geq n\,$

gibt.

Der Graph einer komplexen Funktion

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {C} },$

${}D\subseteq {\mathbb {C} }$, ist schwer zu skizzieren, da er ja eine Teilmenge von ${}{\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{4}$ ist. Als Ersatz skizziert man dann manchmal den Graphen der zugehörigen Betragsfunktion

$D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {f(z)}\vert .$

Eine andere Möglichkeit ist, den Realteil und/oder den Imaginarteil der Funktion zu skizzieren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere den Graphen der folgenden Funktionen.

1. ${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {z}\vert .$

2. ${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {z^{2}}\vert .$

3. ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {\frac {1}{z}}\vert .$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Funktion, die ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ abbildet. Die Funktion sei in ${}a\in \mathbb {R}$ (als komplexe Funktion) differenzierbar. Zeige, dass dann auch die reelle Funktion ${}f{|}_{\mathbb {R} }$ (als Funktion von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$) differenzierbar ist (und zwar mit der gleichen Ableitung).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die komplexe Betragsfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und seien

$f_{i}\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,i=1,\ldots ,n,$

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel

${}(f_{1}{\cdots }f_{n})'=\sum _{i=1}^{n}f_{1}{\cdots }f_{i-1}f_{i}'f_{i+1}{\cdots }f_{n}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom, ${}a\in {\mathbb {C} }$ und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass ${}P$ genau dann ein Vielfaches von ${}(X-a)^{n}$ ist, wenn ${}a$ eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ${}P,P^{\prime },P^{\prime \prime },\ldots ,P^{(n-1)}$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie komplex differenzierbare. Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion mit

${}f(z)=(g(z))^{k}\,$

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$. Zeige

${}g'(z)={\frac {1}{k}}\cdot {\frac {1}{(g(z))^{k-1}}}\cdot f'(z)\,.$

Aufgabe * Aufgabe 1.12 ändern

Es sei ${}P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}z^{i}\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom mit ${}a_{n}\neq 0$. Wir setzen ${}a:={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=0,\ldots ,n-1\right)}}$ und ${}r:={\max {\left({\frac {na+\vert {a_{0}}\vert +1}{\vert {a_{n}}\vert }},1\right)}}$. Zeige, dass

${}\vert {P(z)}\vert \geq 1\,$

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ mit

${}\vert {z}\vert \geq r\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne die Hintereinanderschaltungen ${}f\circ g$ und ${}g\circ f$ der beiden rationalen Funktionen

$f(x)={\frac {2x^{2}-4x+3}{x-2}}\,\,{\text{ und }}\,\,g(x)={\frac {x+1}{x^{2}-4}}.$

Aufgabe Aufgabe 1.14 ändern

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.

Aufgabe Aufgabe 1.15 ändern

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$F\colon D\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine rationale Funktion. Zeige, dass ${}F$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit ${}F^{(n)}=0$ gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die komplexe Partialbruchzerlegung von

${\frac {X}{(X-1)(X-{\mathrm {i} })(X+2{\mathrm {i} })}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die komplexe Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{(X+1)(X-{\mathrm {i} })^{2}}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde eine Darstellung der rationalen Zahl ${}1/100$ als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner Primzahlpotenzen sind.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}f(x)={\frac {x^{2}-1}{x}}$ und ${}g(y)={\frac {y^{2}}{y-1}}$.

a) Bestimme die Ableitung von ${}f$ und von ${}g$.

b) Berechne die Hintereinanderschaltung ${}h(x)=g(f(x))$.

c) Bestimme die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe von Teil b).

d) Bestimme die Ableitung von ${}h$ mittels der Kettenregel.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zur Matrix

${\begin{pmatrix}{\frac {t}{t^{2}-1}}&{\frac {1}{t^{3}}}\\{\frac {t^{2}-4}{t}}&{\frac {t-1}{t+1}}\end{pmatrix}}$

(über dem Körper der rationalen Funktionen ${}\mathbb {R} (t)$).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass es auf einer offenen Kreisscheibe unbeschränkte holomorphe Funktionen gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die komplexe Invertierung

${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{-1},$

nicht gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Betrag

${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$

gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir versuchen, für eine jede komplexe Zahl ${}z$ eine eindeutige Quadratwurzel festzulegen, indem wir aus den beiden Möglichkeiten ${}\pm {\sqrt {z}}$ diejenige Quadratwurzel auswählen, die einen positiven Realteil hat bzw. diejenige, falls der Realteil gleich ${}0$ ist, die einen nichtnegativen Imaginärteil hat. Zeige, dass die so definierte Funktion ${}{\sqrt {z}}$ an der Stelle ${}-1$ nicht stetig ist.

Tipp: Betrachte diese Funktion auf dem Einheitskreisbogen um ${}-1$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die komplexe Betragsfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$

in keinem Punkt differenzierbar ist.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass im Funktionenkörper ${}K(X)$ die Gleichheit

${}{\frac {X^{r}-1}{X^{r}}}={\frac {X-1}{X}}+{\frac {X-1}{X^{2}}}+\cdots +{\frac {X-1}{X^{r-1}}}+{\frac {X-1}{X^{r}}}\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die komplexe Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X^{3}-1}}.$

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die komplexe Partialbruchzerlegung von

${\frac {X^{3}-{\mathrm {i} }X+1}{X^{2}(X^{2}+1)(X^{2}-1)}}.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}P/Q$ eine komplexe rationale Funktion derart, dass in der komplexen Partialbruchzerlegung alle ${}c_{j1}=0$ sind. Zeige, dass ${}P/Q$ eine Stammfunktion besitzt.