Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 12

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Teiler der Zahlen

$1,2,3,\ldots ,20.$

Übungsaufgaben

Aufgabe

Sortieren Sie in Ihrem Kopf die Formulierungen „${}a$ teilt ${}b$“, „${}c$ ist ein Teiler von ${}d$“, „${}e$ ist ein Vielfaches von ${}f$“, „${}g$ wird von ${}h$ geteilt“, „${}i$ kann man durch ${}j$ teilen“, „${}k$ ist durch ${}\ell$ teilbar“.

Aufgabe

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass ${}n^{2}-1$ ungerade oder aber durch ${}8$ teilbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass ${}n^{2}-n$ stets gerade ist.

Aufgabe

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen ${}25,30,36$ sowie all ihrer positiven Teiler.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge von ${}n$ Äpfeln und ${}P$ eine Menge von ${}t$ Personen. Begründe, dass man die Apfelmenge genau dann gerecht auf die Personen aufteilen kann, wenn ${}t$ ein Teiler von ${}n$ ist.

Aufgabe

Bringe die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl ${}n$ durch eine natürliche Zahl ${}t$ mit dem Begriff der Produktmenge in Zusammenhang.

Aufgabe *

Wir betrachten die Gesamtmenge aller Finger und aller Zehen eines Menschen. Man gebe für jede Faktorzerlegung

${}20=a\cdot b\,$

eine möglichst natürliche Zerlegung dieser ${}20$ Körperteile in ${}a$ Teilmengen mit je ${}b$ Elemente an.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge mit ${}m$ Elementen und ${}t$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}t$ ist ein Teiler von ${}m$.
2. Es gibt eine Zerlegung von ${}M$ in disjunkte Teilmengen ${}M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}$, wobei sämtliche beteiligten Teilmengen ${}M_{i}$ genau ${}t$ Elemente besitzen.
3. Es gibt eine Zerlegung von ${}M$ in ${}t$ disjunkte Teilmengen.

Aufgabe

Interpretiere Aufgabe 12.9 für den Fall ${}t=2$.

Aufgabe

Es seien ${}a,b,c$ natürliche Zahlen und es gelte, dass ${}bc$ ein Vielfaches von ${}ac$ sei. Ferner sei ${}c\neq 0$. Zeige, dass dann ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}a\leq b$ natürliche Zahlen, die beide von ${}c$ geteilt werden. Zeige, dass auch die Differenz ${}b-a$ von ${}c$ geteilt wird.

Aufgabe

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl und ${}r$ sei die kleinste natürliche Zahl mit ${}r^{2}\geq n$. Zeige, dass bei einer Faktorzerlegung ${}n=ab$ stets ${}a\leq r$ oder ${}b\leq r$ gilt.

Aufgabe

Es seien ${}a,b$ positive natürliche Zahlen. Stifte eine Bijektion zwischen der Menge aller Vielfachen von ${}a$ und der Menge aller Vielfachen von ${}b$.

Aufgabe *

Es seien drei verschiedene Zahlen ${}a,b,c>1$ gegeben. Wie viele Teiler besitzt das Produkt ${}a\cdot b\cdot c$ minimal?

Aufgabe

Es sei

${}Z=\{1,2,4,8,16,\ldots \}\,$

die Menge aller Zweierpotenzen. Definiere eine Bijektion

$\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow Z$

derart, dass ${}k\leq n$ genau dann gilt, wenn ${}\varphi (k)$ die Zahl ${}\varphi (n)$ teilt.

Aufgabe

Erläutere, warum die Formulierung „Die ${}0$ teilt die ${}0$, man kann die ${}0$ aber nicht durch die ${}0$ teilen“ sich zwar paradox anhört, aber korrekt ist. Tipp: Verwende die Konzepte Relation und Abbildung (bzw. Verknüpfung).

Aufgabe

Beschreibe Analogien zwischen der Größergleichbeziehung und der Teilerbeziehung auf den natürlichen Zahlen.

Die folgende Aufgabe beschreibt, wie sich in Lemma 12.3 unter den gegebenen Teilbarkeitsvoraussetzungen die Brüche (wir haben also nach wie vor keine rationalen Zahlen) verhalten.

Aufgabe

1. Für jede natürliche Zahl ${}a$ gilt ${}{\frac {a}{1}}=a$ und bei ${}a\neq 0$ gilt auch ${}{\frac {a}{a}}=1$.
2. Für jede natürliche Zahl ${}a\neq 0$ gilt ${}{\frac {0}{a}}=0$.
3. Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}b\,{|}\,c$, so gilt auch ${}a\,{|}\,c$ und es ist (bei $a,b\neq 0$)

   ${}{\frac {c}{a}}={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {c}{b}}\,.$

4. Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}c\,{|}\,d$, so gilt auch ${}ac\,{|}\,bd$ und es ist (bei $a,c\neq 0$)

   ${}{\frac {bd}{ac}}={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {d}{c}}\,.$

5. Gilt ${}a\,{|}\,b$, so gilt auch ${}ac\,{|}\,bc$ für jede natürliche Zahl ${}c$, und es ist (bei ${}a,c\neq 0$)

   ${}{\frac {bc}{ac}}={\frac {b}{a}}\,$

6. Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}a\,{|}\,c$, so gilt auch ${}a\,{|}\,{\left(rb+sc\right)}$ für beliebige natürliche Zahlen ${}r,s$, und es ist (bei $a\neq 0$)

   ${}{\frac {rb+sc}{a}}=r{\frac {b}{a}}+s{\frac {c}{a}}\,.$

Die folgende Aufgabe sollte man in Analogie zu Lemma 10.14 sehen.

Aufgabe

Es seien ${}a,b,c,d$ natürliche Zahlen. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es sei ${}b$ ein Teiler von ${}a$. Dann ist

   ${}b\cdot c\cdot {\frac {a}{b}}=c\cdot a\,$

   für ${}b\neq 0$.

2. Es sei ${}b$ ein Teiler von ${}a$ und ${}d$ ein Teiler von ${}c$ mit ${}b,d\neq 0$. Dann ist

   ${}{\frac {ac}{bd}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}\,.$

   Insbesondere gelten, wenn ${}b$ ein Teiler von ${}a$ ist, die Beziehungen (mit ${}b,c\neq 0$)

   ${}{\frac {ac}{bc}}={\frac {a}{b}}\,$

   und

   ${}{\frac {ac}{b}}={\frac {a}{b}}\cdot c\,.$

3. Es sei ${}b\neq 0$ ein Teiler von ${}a\neq 0$ und ${}a$ ein Teiler von ${}bc$. Dann ist ${}{\frac {a}{b}}$ ein Teiler von ${}c$ und es ist

   ${}{\frac {\,\,c\,\,}{\,\,{\frac {a}{b}}\,\,}}={\frac {cb}{a}}\,.$

Aufgabe *

Es gibt ${}24$ Schokoriegel und ${}16$ Äpfel. Auf wie viele Kinder kann man diese Sachen gerecht verteilen?

Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}105$ und ${}150$.

Aufgabe

Es sei ${}t$ ein Teiler von ${}n$. Was ist der größte gemeinsame Teiler von ${}t$ und ${}n$ und was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}t$ und ${}n$?

Aufgabe

Es seien ${}a,b,c$ ganze Zahlen. Zeige für den größten gemeinsamen Teiler die Gleichung

${}\operatorname {GgT} (a,b,c)={\operatorname {GgT} \,\left({\operatorname {GgT} \,\left(a,b\right)},c\right)}\,.$

Aufgabe *

Prof. Knopfloch und Dr. Eisenbeis basteln einen Adventskalender mit ${}24$ Türen für ihren Neffen Willem, der sich für Hunde und für Primzahlen interessiert. Dr. Eisenbeis legt in die Fächer zu den geradzahligen Tagen jeweils ein lustiges Hundebild. Prof. Knopfloch legt in die Fächer zu den ungeradzahligen Tagen jeweils eine bunt gemalte Primzahl, und zwar in aufsteigender natürlicher Reihenfolge.

1. Welche Primzahl befindet sich hinter dem ${}23$. Türchen?
2. Hinter welchem Türchen befindet sich die ${}23$?
3. Für welche Türchen stimmt die Nummer der Türe mit dem Inhalt überein?
4. Ist die Summe aller verwendeten Primzahlen gerade oder ungerade?

Aufgabe

Berechne den Ausdruck

$n^{2}+n+41$

für ${}n=0,1,2,\ldots$. Handelt es sich dabei um Primzahlen?

Aufgabe

Zeige, dass man jede natürliche Zahl ${}n\geq 12$ als Summe

${}n=a+b\,$

schreiben kann, wobei sowohl ${}a$ als auch ${}b$ zusammengesetzte Zahlen sind.

Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}1728$.

Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}1025$.

Aufgabe *

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl ${}n^{2}-1$ eine Primzahl?

Aufgabe

Finde die kleinste Zahl ${}N$ der Form ${}N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{r}+1$, die keine Primzahl ist, wobei ${}p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}$ die ersten ${}r$ Primzahlen sind.

Aufgabe

Finde einen Primfaktor der Zahl ${}2^{25}+1$.

Aufgabe

Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen

$2^{33}-1,\,2^{91}-1,\,2^{13}+1.$

Aufgabe *

Man gebe zwei Primfaktoren von ${}2^{35}-1$ an.

Aufgabe

Welche natürliche Zahlen haben bezüglich der Addition die zur Primeigenschaft (die ja unter Bezug auf die Multiplikation definiert ist) analoge Eigenschaft? Gilt die eindeutige Zerlegung in „Primsummanden“?

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Menge und ${}M={\mathfrak {P}}\,(G)$. Wir betrachten auf ${}M$ den Durchschnitt ${}\cap$ als Verknüpfung mit der Gesamtmenge ${}G$ als neutralem Element.

1. Was bedeutet in diesem Fall die Teilbarkeitsbeziehung, die analog zur Teilbarkeit in ${}\mathbb {N}$ zu definieren ist?
2. Was sind die „Primelemente“ in ${}M$?
3. Gibt es stets eine Faktorzerlegung in Primelemente?

Aufgabe

Zeige, dass in einem kommutativen Halbring durch

$x\geq y{\text{ genau dann, wenn }}\exists z(x=y+z)$

eine reflexive und transitive Relation gegeben ist. Zeige durch geeignete Beispiele, dass diese weder antisymmetrisch noch total sein muss.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen ${}12,15,16,20$ sowie all ihrer positiven Teiler.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}n\neq 0$ eine natürliche Zahl mit zwei Faktorzerlegungen

${}n=ab=cd\,.$

Es sei ${}a\geq c$. Zeige, das dann ${}b\leq d$ sein muss.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}b\neq 0$ ein Teiler von ${}a$ und ${}d\neq 0$ ein Teiler von ${}c$. Zeige, dass ${}bd$ ein Teiler von ${}ad+cb$ ist und dass

${}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Zum neunten Geburtstag ihres Enkels Mustafa backt Oma Müller für die Geburtstagsparty ihre beliebten Geburtstagskekse. Mustafa hat ${}9$ Kinder aus seiner Klasse eingeladen, mit ihm werden es maximal ${}10$ Kinder sein. Es ist aber nicht klar, ob alle kommen. In jedem Fall will Oma Müller sicher sein, dass jedes Kind genau gleich viele Kekse bekommt. Wie viele Kekse backt sie? (die Lösung, gar keine Kekse zu backen, würden die Kinder nicht verstehen.)

Aufgabe (3 Punkte)

Finde einen Primfaktor der Zahl ${}2^{25}-1$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es außer ${}3,5,7$ kein weiteres Zahlentripel der Form ${}p,p+2,p+4$ gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Finde fünf natürliche Zehnerintervalle ${}\{10a,\ldots ,10(a+1)\}$, die jeweils vier Primzahlen enthalten.