Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 18/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Aufgabe 18.1 ändern

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}H=K[X]$ sei mit der in Beispiel 17.9 eingeführten (additiven) ${}K$- Hopf-Algebrastruktur versehen. Zeige, dass zu einer kommutativen ${}K$- Algebra ${}L$ die induzierte Gruppenstruktur auf ${}L\cong {\left(\operatorname {Spek} {\left(H\right)}\right)}(L)$ mit der Addition auf ${}L$ übereinstimmt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}H$ eine kommutative ${}K$- Hopf-Algebra zusammen mit einer Kooperation auf der kommutativen ${}K$-Algebra ${}R$. Wir betrachten die beiden ${}K$- Algebrahomomorphismen

$N\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R$

(die Kooperation) und

$\iota _{2}\colon R\longrightarrow H\otimes _{K}R,\,r\longmapsto 1\otimes r.$

Zeige, dass die Menge

${\left\{r\in R\mid N(r)=\iota _{2}(r)\right\}}$

ein Unterring von ${}R$ ist.

Den in der vorstehenden Aufgabe definierten Unterring nennt man auch den Invariantenring der Kooperation.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ eine Menge, auf der eine Gruppe ${}G$ operiere, und sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine Abbildung in eine weitere Menge ${}Y$. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann ${}G$- invariant ist, wenn das Diagramm

$G\times X{\stackrel {\nu ,p_{2}}{\longrightarrow }}X\longrightarrow Y$

kommutiert.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra, auf der eine endliche Gruppe ${}G$ als Gruppe von ${}K$- Algebraautomorphismen operiere.

1. Definiere eine Kooperation der Hopf-Algebra ${}H=\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}$ auf ${}R$ derart, dass man über die zugehörige Operation der Spektren die ursprüngliche Operation zurückgewinnt.
2. Zeige, dass der Invariantenring ${}R^{G}$ mit dem Invariantenring zur Kooperation übereinstimmt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}K[D]$ der zugehörige Gruppenring mit der in Beispiel 17.11 beschriebenen Hopf-Struktur. Es sei ${}A$ eine kommutative ${}K$- Algebra.

1. Es liege eine ${}D$- Graduierung von ${}A$ (als ${}K$-Algebra) vor. Zeige, dass durch

   $A\longrightarrow K[D]\otimes _{K}A,\,a_{d}\longmapsto T^{d}\otimes a_{d},$

   eine ${}K$- Kooperation der Hopf-Algebra ${}K[D]$ auf ${}A$ festgelegt wird.

2. Es liege eine ${}K$-Kooperation

   $N\colon A\longrightarrow K[D]\otimes _{K}A$

   von ${}K[D]$ auf ${}A$ vor. Zeige, dass durch

   ${}A_{d}:={\left\{a\in A\mid T^{d}\otimes a=N(a)\right\}}\,$

   eine ${}D$-Graduierung auf ${}A$ festgelegt wird.

3. Zeige, dass die Zuordnungen aus (1) und (2) invers zueinander sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Definiere eine Hopf-Algebrastruktur auf ${}A$ derart, dass zu jeder kommutativen ${}K$- Algebra ${}L$ ein natürlicher Gruppenisomorphismus

${}{\left(\operatorname {Spek} {\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}\right)}(L)\cong (L^{n},+)\,$

besteht.

Bei den beiden folgenden Aufgaben denke man an lineare Gleichungen, insbesondere daran, wie sich die Lösungen einer homogenen Gleichung zu den Lösungen einer inhomogenen Gleichung verhalten.

Aufgabe Aufgabe 18.7 ändern

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ und

${}A=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n})\,.$

Definiere eine Hopf-Algebrastruktur auf ${}A$ (über ${}R$).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}f_{1},\ldots ,f_{n},f\in R$. Wir setzen

${}A=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n})\,,$

versehen mit der in Aufgabe 18.7 diskutierten Hopf-Algebrastruktur, und

${}B=R[T_{1},\ldots ,T_{n}]/(f_{1}T_{1}+\cdots +f_{n}T_{n}+f)\,.$

Definiere eine Kooperation von ${}A$ auf ${}B$ (über ${}R$).

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 18.6 ändern

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}H=K[X,X^{-1}]=K[X]_{X}$ sei mit der in Beispiel 17.10 eingeführten (multiplikativen) ${}K$- Hopf-Algebrastruktur versehen. Zeige, dass zu einer kommutativen ${}K$- Algebra ${}L$ die induzierte Gruppenstruktur auf ${}L^{\times }\cong {\left(\operatorname {Spek} {\left(H\right)}\right)}(L)$ mit der Multiplikation übereinstimmt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}K[D]$ der zugehörige Gruppenring. Bestimme zu einer kommutativen ${}K$-Algebra ${}L$ die Gruppe ${}{\left(\operatorname {Spek} {\left(K[D]\right)}\right)}(L)$.