Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 19

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}M\subseteq \mathbb {Z} ^{n}$ ein normales, spitzes, endlich erzeugtes Monoid und ${}K$ ein Körper. Zeige, dass der Monoidring ${}K[M]$ eine positive Graduierung besitzt.

Aufgabe

Bestimme die Hilbert-Reihe von ${}K[X,Y]/(X^{3},Y^{5},X^{2}Y^{2})$ in der Standardgraduierung.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}A$ und ${}B$ endlich erzeugte positiv-graduierte ${}K$- Algebren. Zeige, dass zwischen den Hilbert-Reihen die Beziehung

${}H(A\otimes _{K}B)=H(A)\cdot H(B)\,$

besteht, wobei ${}A\otimes _{K}B$ mit der natürlichen ${}\mathbb {N}$-Graduierung (wie sieht die aus?) versehen sei.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte, kommutative, positiv-graduierte ${}K$- Algebra und ${}\ell \in \mathbb {N}$. Welche Beziehung besteht zwischen der Hilbert-Reihe von ${}R$ und der Hilbert-Reihe des ${}\ell$-ten Veronese-Ringes ${}R^{(\ell )}$.

Aufgabe

Zeige, dass die Definition 19.5 der Spur einer linearen Abbildung unabhängig von der gewählten Matrix ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass die Zuordnung

$\operatorname {End} _{}^{}{\left(V\right)}\longrightarrow K,\,\varphi \longmapsto \operatorname {Spur} {\left(\varphi \right)},$

${}K$- linear ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Wie findet man die ${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$ wieder?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$ mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also

${}\chi _{M}=(X-\lambda _{1})^{\mu _{1}}\cdot (X-\lambda _{2})^{\mu _{2}}{\cdots }(X-\lambda _{k})^{\mu _{k}}\,.$

Zeige, dass

${}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}=\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}\lambda _{i}\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}P=X^{n}-c\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom. Es sei

${}f=a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$

ein Element in der einfachen endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L=K[X]/(P)$ vom Grad ${}n$. Zeige, dass die Spur von ${}f$ (aufgefasst als Endomorphismus auf ${}L$) gleich ${}na_{0}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass man jede endliche zyklische Gruppe ${}\mathbb {Z} /(n)$ in ${}\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ sowohl als Reflektionsgruppe als auch als eine Gruppe ohne Pseudoreflektionen realisieren kann.

Aufgabe

Zeige, dass die alternierende Gruppe ${}A_{n}$ in ihrer natürlichen Realisierung in ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ keine Pseudoreflektionen enthält.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}\psi \in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine Pseudoreflektion. Zeige, dass jede Konjugation von ${}\psi$ ebenfalls eine Pseudoreflektion ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ eine Untergruppe und ${}H\subseteq G$ die von allen Pseudoreflektionen in ${}G$ erzeugte Untergruppe. Zeige, dass ${}H$ ein Normalteiler in ${}G$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte, kommutative, positiv-graduierte ${}K$- Algebra. Zeige, dass die Hilbert-Reihe von ${}R$ genau dann ein Polynom ist, wenn die Krulldimension von ${}R$ null ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Begründe mit dem Satz von Chevalley-Shephard-Todd, dass der Ring der symmetrischen Polynome ein Polynomring ist.