Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 3/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Überprüfe, dass die reguläre Darstellung in der Tat ein Gruppenhomomorphismus ist. Wie sieht es aus, wenn man die reguläre Darstellung mit der Rechtsmultiplikation statt mit der Linksmultiplikation definiert?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass jede endliche Gruppe eine treue Darstellung innerhalb der speziellen linearen Gruppe besitzt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Finde treue Darstellungen für .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Finde treue Darstellungen für .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und wine zyklische Untergruppe, die von erzeugt werde. Zeige, dass ein Untervektorraum genau dann - invariant ist, wenn er - invariant ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein endlicher Körper (mit Elementen). Bestimme die Anzahl der Elemente in
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlicher Körper. Bestimme die Anzahl der Elemente in
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Aufgabe 3.9 ändern
Es sei eine Gruppe, ein Körper und die Charaktergruppe zu . Beweise die folgenden Aussagen.
- ist eine kommutative Gruppe.
- Bei einer direkten Gruppenzerlegung ist .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es seien und kommutative Gruppen und seien und die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper .
- Zeige, dass zu einem
Gruppenhomomorphismus
durch die Zuordnung ein Gruppenhomomorphismus
definiert wird.
- Es sei eine weitere kommutative Gruppe und sei
ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine kommutative Gruppe und ein Körper.
a) Zeige, dass durch
ein natürlicher Gruppenhomomorphismus von in das Doppeldual gegeben ist.
b) Es sei nun endlich und es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel enthält, wobei der Exponent von sei. Zeige, dass dann die Abbildung aus a) ein Isomorphismus ist.
Die in der vorstehenden Aufgabe auftretende Abbildung heißt Evaluierungsabbildung (zu ).
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine endliche kommutative Gruppe und es sei ein Körper. Wir betrachten die Zuordnung
die einer Untergruppe von eine Untergruppe von zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.
a) Die Zuordnung ist inklusionsumkehrend.
b) Unter der kanonischen Abbildung
ist .
c) Es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel enthält, wobei der Exponent von sei. Zeige, dass dann gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten , und es sei ein Körper, der eine primitive -te Einheitswurzel besitzt. Zeige, dass die Zuordnungen
und
(zwischen den Untergruppen von und den Untergruppen von ) zueinander invers sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine endliche kommutative Gruppe mit der zugehörigen Charaktergruppe in einen Körper . Zeige, dass die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel einer Untergruppe mit , die von zwei Elementen erzeugt wird, die beide als Endomorphismen diagonalisierbar sind, derart, dass die einzigen - invarianten Untervektorräume und sind.
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 3.16 ändern
Wir betrachten die natürliche Operation der Permutationsgruppe auf .
a) Bestimme den Fixraum der Operation.
b) Finde ein - invariantes Komplement, also einen - invarianten Unterraum mit .
Aufgabe (5 Punkte)Aufgabe 3.17 ändern
Betrachte die Untergruppe
die durch die drei Matrizen
erzeugt wird. Liste die Elemente dieser Gruppe auf und bestimme sämtliche Untergruppen.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
- besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.
- Zu jedem Primpotenzteiler von besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.
- Zu jedem Teiler von besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.
- Zu jeder Ordnung eines Elementes besitzt eine -te primitive Einheitswurzel.
Aufgabe (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine endliche kommutative Gruppe und eine Untergruppe. Es sei ein Körper.
a) Zeige, dass der Kern des natürlichen Gruppenhomomorphismus
gleich ist.
b) Es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel besitzt, wobei der Exponent von sei. Zeige, dass surjektiv ist.
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