Kurs:Körper- und Galoistheorie/1/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 3 | 0 | 3 | 3 | 4 | 3 | 6 | 7 | 8 | 5 | 4 | 5 | 57 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine endliche Körpererweiterung .
- Eine -te Einheitswurzel in einem Körper ().
- Das von einer Familie von Elementen , , in einem kommutativen Ring erzeugte Ideal.
- Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung .
- Eine (endliche) Galoiserweiterung .
- Der -te Kreisteilungskörper (über ).
- Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn ein endlichdimensionaler Vektorraum über ist.
- Ein Element heißt -te Einheitswurzel, wenn ist.
- Das von den erzeugte Ideal besteht aus allen
(endlichen)
Linearkombinationen
wobei eine endliche Teilmenge und ist.
- Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller
-
Algebra-Automorphismen
von , also
- Eine endliche Körpererweiterung heißt eine Galoiserweiterung, wenn
gilt.
- Der -te Kreisteilungskörper ist der
Zerfällungskörper
des Polynoms
über .
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen und .
- Die trigonometrische Darstellung der -ten komplexen Einheitswurzeln ().
- Der Satz über den Grad der Kreisteilungskörper (über ).
- Die Gradformel besagt, dass eine endliche Körpererweiterung ist und dass
- Die -ten komplexen Einheitswurzeln besitzen die Darstellung
- Der Kreisteilungskörper besitzt über den Grad ( die eulersche -Funktion).
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme eine ganze Zahl derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung
in liegen.
Wir schreiben die Gleichung als
Daher ist
Also liegen die Lösungen in .
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .
Es ist
Dies ist eine - Linearkombination von und , nämlich
Daher ist
ein annullierendes Polynom von . Wegen kann es kein annullierendes Polynom von einem kleineren Grad geben, also handelt es sich um das Minimalpolynom.
Aufgabe (3 Punkte)
Betrachte den Körper . Führe im Polynomring die Polynomdivision
aus, wobei die Restklasse von in bezeichnet.
Die Division mit Rest ergibt
Aufgabe (4 Punkte)
Finde im Polynomring ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.
Wir betrachten das Polynom
Da weder noch eine Nullstelle von sind, besitzt es keinen Linearfaktor. Die einzige verbleibende Faktorzerlegung wäre als ein Produkt von zwei irreduziblen Polynomen vom Grad zwei. Das einzige irreduzible Polynom vom Grad zwei ist . Wegen
ist irreduzibel.
Aufgabe (3 Punkte)
Berechne in
( bezeichne die Restklasse von ).
Es ist
und
Daher ist
Aufgabe (6 Punkte)
Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen .
Wir setzen und . Es sei eine -Basis von und eine -Basis von . Wir behaupten, dass die Produkte
bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum über aufspannen. Es sei dazu . Wir schreiben
mit Koeffizienten ausdrücken. Das ergibt
Daher ist eine -Linearkombination der Produkte .
Um zu zeigen, dass diese Produkte
linear unabhängig sind, sei
angenommen mit . Wir schreiben dies als . Da die linear unabhängig über sind und die Koeffizienten der zu gehören folgt, dass ist für jedes . Da die linear unabhängig über sind und ist folgt, dass ist für alle .
Aufgabe (7 Punkte)
Es seien und ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
- teilt .
- Es ist .
- Es gibt einen Ringhomomorphismus
- Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
. Wenn ein Teiler von ist, so ist mit einem und daher ist . Somit gilt die Idealinklusion .
. Wegen der Idealinklusion wird unter dem Restklassen-Ringhomomorphismus
das Ideal auf abgebildet. Daher gibt es aufgrund des Satzes über die induzierte Abbildung einen Ringhomomorphismus
. Es sei
. Es sei
Aufgabe (8 Punkte)
Es sei und es sei die Menge der -ten komplexen Einheitswurzeln. Es sei ein Polynom. Zeige, dass (d.h., dass als Polynom in geschrieben werden kann) genau dann gilt, wenn für jedes die Gleichheit
gilt.
Es sei zunächst . Dann schreiben wir . Für ist somit
Für die Umkehrung sei
Es sei eine primitive -te Einheitswurzel, sodass man alle Einheitswurzeln eindeutig als , , schreiben kann. Es ist
Wir zeigen, dass die Koeffizienten zu , wenn kein Vielfaches von ist, gleich sind. Dies gilt dann auch für .
Es sei also kein Vielfaches von . Da primitiv ist, ist eine -te Einheitswurzel, aber nicht . Wegen der Faktorisierung
ist daher .
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein Körper und der Polynomring über . Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass ein Hauptidealbereich ist.
Es sei ein von verschiedenes Ideal in . Betrachte die nichtleere Menge
Diese Menge hat ein Minimum , das von einem Element , , herrührt, sagen wir . Wir behaupten, dass ist. Die Inklusion ist klar. Zum Beweis von sei gegeben. Aufgrund von Satz 19.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gilt
Wegen und der Minimalität von kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist und ist ein Vielfaches von .
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die Galoisgruppe (einschließlich der Gruppenstruktur) der Körpererweiterung .
Es ist . Ein - Algebrahomomorphismus muss auf eine Nullstelle von schicken, also auf oder auf . Die dadurch definierten surjektiven Einsetzungshomomorphismen
legen nach dem Isomorphiesatz einen -Algebraautomorphismus
fest. Die Galoisgruppe besteht also aus der Identität und der Konjugation . Die Identität ist das neutrale Element dieser Gruppe und die Hintereinanderausführung der Konjugation ist die Identität, was die Gruppenstruktur festlegt.
Aufgabe (5 (3+2) Punkte)
Es seien und kommutative Gruppen und seien und die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper .
- Zeige, dass zu einem
Gruppenhomomorphismus
durch die Zuordnung ein Gruppenhomomorphismus
definiert wird.
- Es sei eine weitere kommutative Gruppe und sei
ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit
- Ein Charakter ist ein Gruppenhomomorphismus
Also ist
und die Zuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus.
- Dies ergibt sich für direkt aus