Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 17/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ein ${}K$- Automorphismus. Es sei ${}\lambda$ ein Eigenwert von ${}\varphi$. Zeige, dass ${}\lambda$ eine Einheitswurzel ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}\delta \in G^{\vee }$ ein Charakter auf der Galoisgruppe ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Man mache sich die Gleichheit

$L_{\delta }={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=\delta (\varphi )\cdot x{\text{ für alle }}\varphi \in G\right\}}=\bigcap _{\varphi \in G}\operatorname {Eig} _{\delta (\varphi )}{\left(\varphi \right)}$

klar.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume des Frobeniushomomorphismus auf ${}{\mathbb {F} }_{125}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume des Frobeniushomomorphismus auf ${}{\mathbb {F} }_{p^{p}}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Matrizen zu sämtlichen Körperautomorphismen in Beispiel 16.8 bezüglich einer geeigneten Basis.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Nullstellen von ${}X^{6}+108$ in Beispiel 16.8 und beschreibe, wie die Automorphismen auf diesen Nullstellen wirken. Welche Nullstellen sind konjugiert?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Formuliere und beweise das „verschobene Eisensteinkriterium“. Man gebe auch ein Beispiel eines Polynoms ${}P\in \mathbb {Q} [X]$, wo man die Irreduzibilität nicht mit dem Eisensteinkriterium, aber mit dem verschobenen Eisensteinkriterium nachweisen kann.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Formuliere und beweise das umgekehrte Eisensteinkriterium, bei dem die Rollen des Leitkoeffizienten und des konstanten Koeffizienten vertauscht werden.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man wende eine Form des Eisensteinkriteriums an, um die Irreduzibilität der folgenden Polynome aus ${}\mathbb {Q} [X]$ nachzuweisen.

1. ${}X^{4}+2X^{2}+2$,
2. ${}20X^{5}-15X^{4}+125X^{3}-10X+4$,
3. ${}X^{4}+9$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${}X^{6}-1$ über den Körpern ${}K=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} },\mathbb {Z} /(7)$ und ${}\mathbb {Z} /(5)$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)Aufgabe 17.11 ändern

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Betrachte das Polynom

${}P=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\,.$

Zeige, dass ${}P$ irreduzibel in ${}\mathbb {Q} [X]$ ist.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}p$ eine Primzahl. Es sei ${}a\in K$ ein Element, das in ${}K$ keine ${}p$-te Wurzel besitzt. Zeige, dass das Polynom ${}X^{p}-a$ irreduzibel ist.

(Tipp: Betrachte die Norm zu einer geeigneten Körpererweiterung.)

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume des Frobeniushomomorphismus auf ${}{\mathbb {F} }_{343}$.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K\subseteq L=K[x]$ eine endliche einfache Körpererweiterung und sei ${}\mu _{x}\colon L\rightarrow L$ die Multiplikation mit ${}x$.

a) Schreibe die Matrix der linearen Abbildung ${}\mu _{x}$ bezüglich der Basis ${}1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ von ${}L$ mit Hilfe des Minimalpolynoms von ${}x$.

b) Zeige ausgehend von der Matrix aus a), dass das charakteristische Polynom zu ${}\mu _{x}$ mit dem Minimalpolynom zu ${}x$ übereinstimmt.

c) Begründe „theoretisch“, dass das charakteristische Polynom das Minimalpolynom ist.