Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 15

Multiplikative Systeme

Wir wollen zeigen, dass es zu jedem Integritätsbereich ${}R$ einen Körper ${}K$ gibt derart, dass ${}R$ ein Unterring von ${}K$ wird. Diesen Körper werden wir dann den Quotientenkörper von ${}R$ nennen. Die Konstruktion ist dieselbe, mit der man aus den ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ die rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ gewinnt.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge ${}S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

${}1\in S$ ,
Wenn ${}f,g\in S$ , dann ist auch ${}fg\in S$ ,

gelten.

Wir erwähnen einige Beispiele von multiplikativen Systemen. Zunächst ist natürlich der Gesamtring, die Menge ${}\{1\}$ und die Einheitengruppe ${}R^{\times }$ ein multiplikatives System. Darüber hinaus erwähnen wir die folgenden Beispiele.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$ ein Element. Dann bilden die Potenzen ${}f^{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , ein multiplikatives System.

Beispiel

Die Nichtnullteiler bilden ein multiplikatives System in einem kommutativen Ring. Die ${}1$ ist wie jede Einheit ein Nichtnullteiler, und wenn ${}f$ und ${}g$ Nichtnullteiler sind, so ist auch deren Produkt ein Nichtnullteiler, da aus ${}f(gh)=0$ zunächst ${}gh=0$ und daraus ${}h=0$ folgt.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Dann bilden alle von ${}0$ verschiedenen Elemente in ${}R$ ein multiplikatives System, das mit ${}R^{*}=R\setminus \{0\}$ bezeichnet wird.

Definition

Ein Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Primideal, wenn ${}{\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für ${}r,s\in R$ mit ${}r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: ${}r\in {\mathfrak {p}}$ oder ${}s\in {\mathfrak {p}}$ .

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist das Komplement ${}R\setminus {\mathfrak {p}}$ ein multiplikatives System. Dies folgt unmittelbar aus der Definition.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich und sei ${}M$ eine Menge von Primelementen. Dann ist die Menge aller Elemente aus ${}R$ , in deren Primfaktorzerlegung ausschließlich Primelemente aus ${}M$ vorkommen, ein multiplikatives System ${}S$ . Es ist also

{}S={\left\{up_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\mid u\in R^{\times },\,p_{i}\in M\right\}}\,.

Lemma

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei

\varphi \colon R\longrightarrow A

ein Ringhomomorphismus.

Dann ist das Urbild ${}\varphi ^{-1}(A^{\times })$ der Einheitengruppe ein multiplikatives System.

Beweis

Das ist trivial.

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Nenneraufnahme

Unser nächstes Ziel ist es, zu einem multiplikativen System ${}S$ einen Ring zu konstruieren mit der Eigenschaft, dass die Elemente aus ${}S$ dort zu Einheiten werden, und dieser Ring minimal mit dieser Eigenschaft ist. Die Konstruktion beruht auf einer einfachen Äquivalenzrelation.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Auf der Produktmenge ${}R\times S$ nennt man die durch

{}(r,s)\sim (r',s')\,,

falls es ein ${}t\in S$ mit ${}rs't=r'st$ gibt, die durch das multiplikative System gegebene Überkreuzrelation.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System.

Dann ist die Überkreuzrelation auf der Produktmenge ${}R\times S$ eine Äquivalenzrelation. Für die Äquivalenzklassen ${}{\frac {r}{s}}:=[(r,s)]$ ist durch

${}{\frac {r}{s}}+{\frac {r'}{s'}}:={\frac {rs'+r's}{ss'}}\,$

eine wohldefinierte Addition und durch

{}{\frac {r}{s}}\cdot {\frac {r'}{s'}}:={\frac {rr'}{ss'}}\,

eine wohldefinierte Multiplikation gegeben, derart, dass die Quotientenmenge ein kommutativer Ring wird.

Beweis

Siehe Aufgabe 15.1.

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Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Dann versteht man unter der Nenneraufnahme zu ${}S$ die Quotientenmenge zur Überkreuzrelation auf ${}R\times S$ mit den in Lemma 15.10 beschriebenen Verknüpfungen. Die Nenneraufnahme wird mit ${}R_{S}$ bezeichnet.

Für die Nenneraufnahme an dem von einem Element ${}f$ erzeugten multiplikativen System schreibt man einfach ${}R_{f}$ statt ${}R_{\left\{f^{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$ . Die Elemente ${}s\in S$ aus dem multiplikativen System werden in ${}R_{S}$ zu Einheiten, und zwar ist ${}1/s$ das Inverse zu ${}s$ . Die Nenneraufnahme an ${}R^{*}=R\setminus \{0\}$ in einem Integritätsbereich spielt eine besondere Rolle. Dort werden sämtliche Elemente ${}\neq 0$ zu Einheiten und es entsteht somit ein Körper.

Definition

Zu einem Integritätsbereich ${}R$ ist der Quotientenkörper ${}Q(R)$ als die Menge der formalen Brüche

{}Q(R)={\left\{{\frac {r}{s}}\mid r,s\in R,\,s\neq 0\right\}}\,

mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.

Die wichtigsten Beispiele für einen Quotientenkörper sind die rationalen Zahlen ${}Q(\mathbb {Z} )=\mathbb {Q}$ und der Quotientenkörper des Polynomrings in einer Variablen über einem (Grund-)körper ${}K$ . Man bezeichnet ihn mit ${}K(X)=Q(K[X])$ und nennt ihn den Körper der rationalen Funktionen (über ${}K$ ). In der Tat definiert ein Bruch ${}P/Q$ aus zwei Polynomen ${}P,Q\in K[X]$ , ${}Q\neq 0$ , eine Funktion

U\longrightarrow K,\,x\longmapsto {\frac {P(x)}{Q(x)}},

wobei ${}U\subseteq K$ das Komplement der Nullstellenmenge von ${}Q$ bezeichnet. Wie schon im Fall von Polynomen und den dadurch definierten polynomialen Funktionen muss man auch hier vorsichtig sein und darf nicht die formalen Brüche mit den dadurch definierten Funktionen gleichsetzen, auch wenn dies bei ${}K=\mathbb {R}$ die Vorstellung unterstützt.

Satz

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Es sei

\varphi \colon R\longrightarrow A

ein Ringhomomorphismus derart, dass ${}\varphi (s)$ eine Einheit in ${}A$ für alle ${}s\in S$ ist.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon R_{S}\longrightarrow A,$

der ${}\varphi$ fortsetzt.

Beweis

Damit die Ringhomomorphismen kommutieren muss ${}{\tilde {\varphi }}{\left(1/s\right)}=(\varphi (s))^{-1}$ für ${}s\in S$ und damit ${}{\tilde {\varphi }}{\left(a/s\right)}=\varphi (a)(\varphi (s))^{-1}$ sein. Es kann also maximal einen solchen Ringhomomorphismus geben, der durch die letzte Gleichung definiert sein muss.

Es ist zu zeigen, dass dadurch ein wohldefinierter Ringhomomorphismus gegeben ist. Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei ${}{\frac {a}{s}}={\frac {b}{t}}$ mit ${}s,t\in S$ . Dies bedeutet, dass es ein ${}r\in S$ mit ${}rta=rsb$ gibt. Dann ist auch

{}\varphi (r)\varphi (t)\varphi (a)=\varphi (r)\varphi (s)\varphi (b)\,

und durch Multiplizieren mit der Einheit ${}\varphi (r)^{-1}\varphi (t)^{-1}\varphi (s)^{-1}$ folgt

{}\varphi (a)(\varphi (s))^{-1}=\varphi (b)(\varphi (t))^{-1}\,.

Wir zeigen exemplarisch für die Addition, dass ein Ringhomomorphismus vorliegt. Es ist

{}{\begin{aligned}{\tilde {\varphi }}{\left({\frac {a}{s}}+{\frac {b}{t}}\right)}&={\tilde {\varphi }}{\left({\frac {at+bs}{st}}\right)}\\&=\varphi (at+bs)\varphi (st)^{-1}\\&=(\varphi (a)\varphi (t)+\varphi (s)\varphi (b))\varphi (s)^{-1}\varphi (t)^{-1}\\&=\varphi (a)\varphi (s)^{-1}+\varphi (b)\varphi (t)^{-1}\\&={\tilde {\varphi }}{\left({\frac {a}{s}}\right)}+{\tilde {\varphi }}{\left({\frac {b}{t}}\right)}.\end{aligned}}

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Die folgende Aussage kann man so verstehen, dass der Quotientenkörper der minimale Körper ist, in dem man einen Integritätsbereich als Unterring realisieren kann.

Korollar

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q(R)$ . Es sei

\varphi \colon R\longrightarrow K

ein injektiver Ringhomomorphismus in einen Körper ${}K$ .

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon Q(R)\longrightarrow K$

mit

{}\varphi ={\tilde {\varphi }}{\tilde {i}}\,,

wobei ${}i$ die kanonische Einbettung

i\colon R\longrightarrow Q(R)

bezeichnet.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Satz 15.13.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System.

Dann gibt es eine natürliche Ringisomorphie

${}{\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}_{S}=R_{S}/{\mathfrak {a}}R_{S}\,,$

wobei links die Nenneraufnahme am Bild des multiplikativen Systems in ${}R/{\mathfrak {a}}$ bezeichnet.

Beweis

Nenneraufnahme/Restklassenbildung/Vertauschbarkeit/Fakt/Beweis

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Der Satz von Gauß

Wir wollen nun für einen faktoriellen Integritätsbereich ${}R$ zeigen, dass auch der Polynomring ${}R[X]$ faktoriell ist. Speziell ergibt sich daraus induktiv, dass für einen Körper die Polynomringe in beliebig vielen Variablen faktoriell sind, obwohl sie nur bei einer Variablen Hauptidealbereiche sind. Es liegt nahe, dabei mit dem Quotientenkörper ${}Q(R)$ zu arbeiten und Teilbarkeitseigenschaften in ${}R[X]$ mit denen in ${}Q(R)[X]$ zu vergleichen. Da letzteres ein Hauptidealbereich ist, ist darüber viel bekannt.

In den folgenden Beweisen werden zwei einfache Beobachtungen wiederholt zur Anwendung kommen. Ein konstantes Polynom ${}c\in R$ teilt ein Polynom ${}P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in R[X]$ genau dann, wenn ${}c$ jeden Koeffizienten ${}a_{i}$ teilt. Und zu einem Polynom ${}F=\sum _{i=0}^{n}q_{i}X^{i}\in Q(R)[X]$ gibt es stets ein ${}a\in R$ (nämlich einen Hauptnenner der ${}q_{i}$ ) derart, dass ${}aF$ zu ${}R[X]$ gehört.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$ . Es sei ${}p\in R$ ein Primelement.

Dann ist ${}p$ auch in ${}R[X]$ prim.

Beweis

Sei ${}ph=fg$ . Wir nehmen an, dass ${}p$ weder ${}f$ noch ${}g$ teilt. Dann teilt ${}p$ nicht alle Koeffizienten von ${}f$ und von ${}g$ . Es sei ${}f=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ und ${}g=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}$ und es seien ${}i_{0}$ bzw. ${}j_{0}$ die kleinsten Indizes derart, dass ${}a_{i_{0}}$ (bzw. $b_{j_{0}}$ ) kein Vielfaches von ${}p$ ist (für alle kleineren Indizes sind die Koeffizienten also Vielfache von ${}p$ ). Wir betrachten den ${}(i_{0}+j_{0})$ -ten Koeffizienten von ${}fg$ , dieser ist

{}c_{i_{0}+j_{0}}=a_{0}b_{i_{0}+j_{0}}+\cdots +a_{i_{0}-1}b_{j_{0}+1}+a_{i_{0}}b_{j_{0}}+a_{i_{0}+1}b_{j_{0}-1}+\cdots +a_{i_{0}+j_{0}}b_{0}\,.

Die Summanden links sind Vielfache von ${}p$ aufgrund der Wahl von ${}i_{0}$ und die Summanden rechts sind ebenso Vielfache von ${}p$ . Da auch der Gesamtkoeffizient nach Voraussetzung ein Vielfaches von ${}p$ ist, muss auch der mittlere Summand ${}a_{i_{0}}b_{j_{0}}$ ein Vielfaches von ${}p$ sein. Da ${}p$ prim ist, ist dies ein Widerspruch.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich und ${}K=Q(R)$ der zugehörige Quotientenkörper. Es sei ${}f\in R[X]$ ein nicht-konstantes Polynom derart, dass in ${}R[X]$ nur Faktorzerlegungen ${}f=gh$ mit ${}g\in R{\text{ oder }}h\in R$ möglich sind.

Dann ist ${}f$ irreduzibel in ${}K[X]$ .

Beweis

Nehmen wir an, es gebe eine nicht-triviale Faktorzerlegung ${}f=gh$ mit nicht-konstanten Polynomen ${}g,h\in K[X]$ . Sowohl in ${}g$ als auch in ${}h$ kommen nur endlich viele Nenner aus ${}R$ vor, sodass man mit einem gemeinsamen Hauptnenner ${}r\in R$ multiplizieren kann und somit eine Darstellung ${}rf={\tilde {g}}{\tilde {h}}$ mit ${}{\tilde {g}},{\tilde {h}}\in R[X]$ erhält. Dabei haben sich die Grade der beteiligten Polynome nicht geändert. Es sei ${}r=p_{1}{\cdots }p_{n}$ die Primfaktorzerlegung von ${}r$ . Nach Lemma 15.16 ist ${}p_{1}$ auch im Polynomring ${}R[X]$ prim. Da es das Produkt ${}{\tilde {g}}{\tilde {h}}$ teilt, muss es einen der Faktoren teilen, sagen wir ${}{\tilde {h}}$ . Dann kann man mit ${}p_{1}$ kürzen und erhält eine Gleichung der Form

{}r'f={\tilde {g}}{\tilde {h}}'\,.

Dabei ändern sich wieder die Grade nicht. So kann man sukzessive alle Primfaktoren wegkürzen und erhält schließlich eine Zerlegung

{}f=g'h'\,

mit nicht konstanten Polynomen ${}h',g'\in R[X]$ im Widerspruch zur Voraussetzung.

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Satz

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich.

Dann ist auch der Polynomring ${}R[X]$ faktoriell.

Beweis

Wir zeigen, dass jedes irreduzible Element prim ist und dass jedes Polynom eine Zerlegung in irreduzible Polynome besitzt. Es sei also ${}f\in R[X]$ irreduzibel und

{}fq=hg\,.

Bei ${}f\in R$ ist ${}f$ prim nach Lemma 15.16, sodass wir ${}\operatorname {grad} \,(f)\geq 1$ annehmen können. Die Teilbarkeitsbeziehung gilt erst recht in ${}Q(R)[X]$ . Nach Lemma 15.17 ist das Polynom ${}f$ auch irreduzibel in ${}Q(R)[X]$ und damit darin prim nach Satz 6.3. Daher teilt dieses Element in ${}Q(R)[X]$ einen der Faktoren, sagen wir ${}h$ . Es ist also ${}fu=h$ mit ${}u\in Q(R)[X]$ . Wir können mit einem Hauptnenner ${}a$ von ${}u$ multiplizieren und erhalten die Beziehung

fv=ha=hp_{1}{\cdots }p_{n}

mit ${}v\in R[X]$ , wobei ${}a$ durch seine Primfaktorzerlegung ersetzt wurde. Da ${}f$ irreduzibel ist, sind die Koeffizienten von ${}f$ teilerfremd. Insbesondere ist ${}p_{1}$ kein Teiler von allen Koeffizienten von ${}f$ . Da ${}p_{1}$ nach Lemma 15.16 auch in ${}R[X]$ prim ist, folgt, dass ${}v$ ein Vielfaches von ${}p$ ist. Man kann also durch ${}p_{1}$ kürzen. So kann man sukzessive die Primfaktorzerlegung von ${}a$ abarbeiten und erhält schließlich, dass ${}h$ ein Vielfaches von ${}f$ ist.

Dass jedes Polynom ${}f\in R$ ein Produkt von irreduziblen Polynomen ist, beweisen wir durch Induktion über den Grad von ${}f$ . Bei Grad null liefert die Primfaktorzerlegung in ${}P$ sofort die gewünschte Zerlegung in ${}R[X]$ . Es sei also der Grad von ${}f$ positiv. Wenn es eine Produktzerlegung in Polynome von kleinerem Grad gibt, so sind wir fertig aufgrund der Induktionsvoraussetzung. Andernfalls sei ${}a$ der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten von ${}f$ . Dann ist ${}f=a{\tilde {f}}$ mit ${}{\tilde {f}}\in R[X]$ und die Koeffizienten von ${}{\tilde {f}}$ sind teilerfremd. Dann ist aber ${}{\tilde {f}}$ irreduzibel, da es weder eine Zerlegung in Polynome mit kleinerem Grad noch eine nicht-triviale Zerlegung mit Konstanten geben kann.