Kurs:Lineare Algebra/Teil I/13/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	2	1	5	3	6	4	7	1	6	4	4	6	7	66

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$ . Zeige, dass die Menge der Diagonalmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller ${}n\times n$ - Matrizen über ${}K$ ist und bestimme seine Dimension.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Übergangsmatrizen ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren

v_{1}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\,\,v_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{4}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}

gegebene Basis ${}{\mathfrak {v}}$ im ${}\mathbb {R} ^{4}$ .

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte „Gaumenfreude“ zu ernähren. Eine Tafel besitzt einen Energiewert von ${}2300$ kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist ${}10000$ kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag (gerundet auf zwei Nachkommastellen) und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung zwischen den ${}K$ - Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ . Es sei ${}v\in V$ . Zeige ${}\varphi (-v)=-\varphi (v)$ .

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$ - Vektorräume mit ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=n$ und ${}\dim _{K}{\left(W\right)}=m$ . Welche Dimension besitzt der Produktraum ${}V\times W$ ?

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

{}M={\begin{pmatrix}11&-20\\6&-11\end{pmatrix}}\,.

a) Zeige

{}M^{2}=E_{2}\,.

b) Bestimme die inverse Matrix zu ${}M$ .

c) Löse die Gleichung

{}M{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\-9\end{pmatrix}}\,.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ , wobei ${}V$ endlichdimensional und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ sei. Es sei ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ der ${}K$ - Vektorraum der linearen Abbildungen von ${}V$ nach ${}W$ . Zeige, dass die Abbildung

F\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow W^{n},\,\varphi \longmapsto F(\varphi ):=\left(\varphi (v_{1}),\,\ldots ,\,\varphi (v_{n})\right),

ein Isomorphismus von ${}K$ -Vektorräumen ist.

Aufgabe * (7 (5+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

{}U=\langle {\begin{pmatrix}3\\4\\8\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}}\rangle \subseteq K^{3}\,

und

{}T=\langle {\begin{pmatrix}7\\1\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}}\rangle \subseteq K^{3}\,.

a) Beschreibe den Untervektorraum ${}W$ der ${}3\times 3$ - Matrizen, die den Untervektorraum ${}U$ in den Untervektorraum ${}T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.