Kurs:Lineare Algebra/Teil I/3/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 2 | 3 | 5 | 5 | 4 | 7 | 8 | 1 | 5 | 6 | 6 | 3 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein - Vektorraum und es seien Vektoren. Zeige, dass genau dann linear unabhängig sind, wenn linear unabhängig sind.
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und Untervektorräume gleicher Dimension. Zeige, dass und ein gemeinsames direktes Komplement besitzen.
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.
Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen -Vektorraum und eine surjektive -lineare Abbildung
derart gibt, dass ist.
Aufgabe * (8 (5+3) Punkte)Referenznummer erstellen
a) Es seien endlichdimensionale - Vektorräume und
lineare Abbildungen. Zeige, dass für die Produktabbildung
die Gleichheit
gilt.
b) Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume und
eine lineare Abbildung. Es sei
die induzierte Abbildung. Zeige
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Schreibe das Polynom
als Produkt von Linearfaktoren in .
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum und sei ein Eigenwert zu . Zeige, dass auch ein Eigenwert der dualen Abbildung
ist.
Aufgabe * (6 (1+2+3) Punkte)Referenznummer erstellen
a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine -Matrix.
b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix
c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige -Matrix.
Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei der Zykel gegeben und sei die zugehörige
-
Permutationsmatrix
über einem Körper .
a) Es sei ein Polynom vom Grad . Erstelle eine Formel für .
b) Bestimme das
Minimalpolynom
von .
c) Man gebe ein Beispiel für einen
Endomorphismus
auf einem reellen Vektorraum mit untereinander verschiedenen Vektoren
derart, dass
,
und
gilt und dass das Minimalpolynom von nicht ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen