Kurs:Lineare Algebra/Teil I/3/Klausur/kontrolle


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 3 2 3 5 5 4 7 8 1 5 6 6 3 64








Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.



Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt



Es sei ein - Vektorraum und es seien Vektoren. Zeige, dass genau dann linear unabhängig sind, wenn linear unabhängig sind.



Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und Untervektorräume gleicher Dimension. Zeige, dass und ein gemeinsames direktes Komplement besitzen.



Bestimme eine Basis des Urbildes von

zur linearen Abbildung



Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.



Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen -Vektorraum und eine surjektive -lineare Abbildung

derart gibt, dass ist.



a) Es seien endlichdimensionale - Vektorräume und

lineare Abbildungen. Zeige, dass für die Produktabbildung

die Gleichheit

gilt.

b) Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume und

eine lineare Abbildung. Es sei

die induzierte Abbildung. Zeige



Schreibe das Polynom

als Produkt von Linearfaktoren in .



Es sei

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum und sei ein Eigenwert zu . Zeige, dass auch ein Eigenwert der dualen Abbildung

ist.




a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine -Matrix.


b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix


c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige -Matrix.



Es sei der Zykel gegeben und sei die zugehörige - Permutationsmatrix über einem Körper .

a) Es sei ein Polynom vom Grad . Erstelle eine Formel für .


b) Bestimme das Minimalpolynom von .


c) Man gebe ein Beispiel für einen Endomorphismus auf einem reellen Vektorraum mit untereinander verschiedenen Vektoren derart, dass , und gilt und dass das Minimalpolynom von nicht ist.



Beschreibe die affine Gerade

als Urbild über einer affinen Abbildung .