Kurs:Lineare Algebra/Teil I/5/Teiltest/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	3	3	1	2	3	3	4	4	4	3	1	8	6	5	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vereinigung der Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Eine injektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

3. Ein Körper.
4. Ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines ${}K$-Vektorraumes ${}V$.
5. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$-Vektorraum ${}V$.
6. Die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ zu einer weiteren Basis ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Die Menge

   ${}L\cup M={\left\{x\mid x\in L{\text{ oder }}x\in M\right\}}\,$

   heißt die Vereinigung der beiden Mengen.

2. Die Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M$

   ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente ${}x,y\in L$ auch ${}f(x)$ und ${}f(y)$ verschieden sind.

3. Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

   $+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

   und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

   1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$.
      3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$.
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$.
   2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$.
      3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$.
      4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$.
   3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
4. Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$, wenn man jeden Vektor ${}v\in V$ als Linearkombination der ${}v_{i}$ darstellen kann.
5. Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung

   $\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}=0$

   nur bei ${}a_{i}=0$ für alle ${}i$ möglich ist.

6. Es sei

   ${}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}u_{i}\,$

   mit den Koeffizienten ${}c_{ij}\in K$. Dann nennt man die ${}n\times n$-Matrix

   ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}=(c_{ij})_{ij}\,$

   die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {u}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
2. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
3. Der Satz über die Übergangsmatrizen zu drei Basen.

Lösung

1. Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems

   ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

   über einem Körper ${}K$ ist ein Untervektorraum des ${}K^{n}$

   (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
2. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von ${}V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n$. Es seien ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ Basen von ${}V$. Dann stehen die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

   ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\,.$

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

In einer Höhle befinden sich im Innern am Ende des Ganges vier Personen. Sie haben eine Taschenlampe bei sich und der Gang kann nur mit der Taschenlampe begangen werden. Dabei können höchstens zwei Leute gemeinsam durch den Gang gehen. Die Personen sind unterschiedlich geschickt, die erste Person benötigt eine Stunde, die zweite Person benötigt zwei Stunden, die dritte Person benötigt vier Stunden und die vierte Person benötigt fünf Stunden, um den Gang zu durchlaufen. Wenn zwei Personen gleichzeitig gehen, entscheidet die langsamere Person über die Geschwindigkeit.

1. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau ${}13$ Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?
2. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau ${}12$ Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?

Lösung

Aufgabe (3 (0.5+0.5+1+1) Punkte)

Professor Knopfloch fliegt von Tokio nach Frankfurt. Die Zeitdifferenz zwischen Frankfurt und Tokio beträgt 9 Stunden (wenn es in Frankfurt 12:00 ist, so ist es in Tokio bereits 21:00 am gleichen Tag). Das Flugzeug startet am Samstag um 11:30 Ortszeit in Tokio und landet am Samstag um 16:30 Ortszeit in Frankfurt und folgt dabei der eingezeichneten blauen Kurve. Die Erde ist in 24 Zeitzonen eingeteilt; in der Karte sind das (sehr schematisch) die Flächen, die durch die vom Nordpol ausgehenden Strahlen begrenzt werden. Wenn einer der Strahlen von West nach Ost (in der Karte bedeutet dies gegen den Uhrzeigersinn) überflogen wird, so springt die Ortszeit um eine Stunde vor. Wenn die Datumsgrenze (die rote Linie) von West nach Ost überflogen wird, so springt das Datum um einen Tag zurück (aber auch um eine Stunde vor, da die Datumsgrenze auch eine Zeitzonengrenze ist). Wir gehen davon aus, dass das Flugzeug für jede Überfliegung einer Zeitzone gleich lang braucht (das ist ziemlich unrealistisch) und dass Tokio und Frankfurt in der Mitte ihrer Zeitzonen liegen.

a) Wie lange ist das Flugzeug unterwegs?

b) Wie viele Minuten braucht das Flugzeug, um eine Zeitzone zu überfliegen?

c) Welche Ortszeit gilt unmittelbar nachdem das Flugzeug die Datumsgrenze durchflogen hat?

d) Wie viele Minuten war das Flugzeug gemäß Ortszeit am Freitag unterwegs?

Lösung

a) Das Flugzeug fliegt ${}5+9=14$ Stunden.

b) Es werden ${}15$ Zeitzonengrenzen und auch die Breite von ${}15$ Zeitzonen (${}14$ volle Zeitzonen und ${}2$ halbe Zeitzonen) überflogen. Das Flugzeug braucht somit ${}{\frac {14}{15}}={\frac {56}{60}}$ Stunden, also ${}56$ Minuten, um eine Zeitzone zu überfliegen.

c) Um ${}12:58$ hat das Flugzeug zum ersten Mal eine Zeitzonengrenze überflogen (immer in neuer Ortszeit), um ${}14:54$ wird die nächste Zeitzonengrenze überflogen, um ${}16:50$ die nächste. Die folgende Zeitzonengrenze ist die Datumsgrenze, diese wird um ${}18:46$ am Freitag überfolgen.

d) Die beiden nächsten Zeitzonengrenzen werden um ${}20:42$ und um ${}22:38$ überflogen. Nach weiteren ${}56$ Minuten ist es in alter Ortszeit ${}23:34$ und ${}00:34$ am Samstag in neuer Ortszeit. Daher war das Flugzeug am Freitag

${}3\cdot 56=168\,$

Minuten unterwegs.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}A,B,C$ Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.

1. ${}A\subseteq B\cup C$.
2. ${}A\setminus B\subseteq C$.
3. ${}A\setminus C\subseteq B$.

Lösung

Von (1) nach (2). Es gelte also ${}A\subseteq B\cup C$ und es ist ${}A\setminus B\subseteq C$ zu zeigen. Es sei also ${}x\in A\setminus B$. Das bedeutet ${}x\in A$ und ${}x\notin B$. Nach Voraussetzung (1) gilt wegen ${}x\in A$ auch ${}x\in B\cup C$ und wegen ${}x\notin B$ gilt ${}x\in C$.

Von (2) nach (1). Es gelte also ${}A\setminus B\subseteq C$ und es ist ${}A\subseteq B\cup C$ zu zeigen. Es sei also ${}x\in A$. Wir machen eine Fallunterscheidung. Bei ${}x\in B$ ist auch ${}x\in B\cup C$. Bei ${}x\notin B$ gilt wegen ${}x\in A$ zunächst ${}x\in A\setminus B$ und daher wegen der Voraussetzung ${}A\setminus B\subseteq C$ auch ${}x\in C$, also wieder ${}x\in B\cup C$.

Die Äquivalenz von (1) und (3) ergibt sich genauso mit vertauschten Rollen von ${}B$ und ${}C$.

Aufgabe (1 Punkt)

Ist die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+},\,(a,b)\longmapsto (a+b,ab,a^{b}),$

injektiv oder nicht?

Lösung

Die Abbildung ist nicht injektiv, da wegen

${}2^{4}=16=4^{2}\,$

die beiden Paare ${}(2,4)$ und ${}(4,2)$ unter ${}\varphi$ auf das gleiche Element abgebildet werden.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ surjektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls surjektiv ist.

Lösung

Sei ${}z\in N$ gegeben. Aufgrund der Surjektivität von ${}G$ gibt es ein ${}y\in M$ mit

${}G(y)=z\,.$

Aufgrund der Surjektivität von ${}F$ gibt es ein ${}x\in L$ mit

${}F(x)=y\,.$

Insgesamt ist

${}(G\circ F)(x)=G(F(x))=G(y)=z\,,$

es gibt also ein Urbild von ${}z$ und somit ist die Gesamtabbildung surjektiv.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Die Funktionen

$f,g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

seien durch

${}f(x)=x^{3}+x\,,$

${}g(y)=y^{2}-1\,$

und

${}h(z)=3z+4\,$

gegeben.

1. Berechne ${}g\circ f$.
2. Berechne ${}h\circ g$.
3. Berechne ${}h\circ g\circ f$ auf zwei unterschiedliche Arten.

Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\left(g\circ f\right)}(x)&=g(f(x))\\&=(f(x))^{2}-1\\&={\left(x^{3}+x\right)}^{2}-1\\&=x^{6}+2x^{4}+x^{2}-1.\end{aligned}}$

2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\left(h\circ g\right)}(y)&=h(g(y))\\&=3(g(y))+4\\&=3{\left(y^{2}-1\right)}+4\\&=3y^{2}-3+4\\&=3y^{2}+1.\end{aligned}}$

3. Es ist einerseits

   ${}{\begin{aligned}(h\circ g\circ f)(x)&=h((g\circ f)(x))\\&=h(x^{6}+2x^{4}+x^{2}-1)\\&=3(x^{6}+2x^{4}+x^{2}-1)+4\\&=3x^{6}+6x^{4}+3x^{2}-3+4\\&=3x^{6}+6x^{4}+3x^{2}+1\end{aligned}}$

   und andererseits

   ${}{\begin{aligned}(h\circ g\circ f)(x)&=(h\circ g)(f(x))\\&=3(f(x))^{2}+1\\&=3(x^{3}+x)^{2}+1\\&=3(x^{6}+2x^{4}+x^{2})+1\\&=3x^{6}+6x^{4}+3x^{2}+1.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}4&0&0&-3&7\\8&3&1&0&-5\\6&2&-1&-2&3\\-4&5&1&0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3&2&-4\\1&-1&5\\0&6&1\\-5&2&0\\6&-3&-2\end{pmatrix}}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{pmatrix}4&0&0&-3&7\\8&3&1&0&-5\\6&2&-1&-2&3\\-4&5&1&0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3&2&-4\\1&-1&5\\0&6&1\\-5&2&0\\6&-3&-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}69&-19&-30\\-3&34&-6\\48&-9&-21\\11&-16&36\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}3x&-4y&+2z&+5w&=&12\\x&+5y&+7z&+w&=&1\\&+y&+z&+2w&=&3\\&+3y&+2z&+w&=&2\,.\end{matrix}}$

Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable ${}x$, indem wir die zweite Gleichung dreimal von der ersten Gleichung abziehen. Dies führt auf

${\begin{matrix}&-19y&-19z&+2w&=&9\\&+y&+z&+2w&=&3\\&+3y&+2z&+w&=&2\,.\end{matrix}}$

Nun eliminieren wir die Variable ${}w$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) ${}-2III+I$ und ${}-2III+I$ ausrechnen. Dies führt auf

${\begin{matrix}&-25y&-23z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&5\\&-5y&-3z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-1\,.\end{matrix}}$

Mit ${}I-5II$ ergibt sich

${}-8z=10\,$

und

${}z=-{\frac {5}{4}}\,.$

Rückwärts gelesen ergibt sich

${}y={\frac {19}{20}}\,,$

${}w={\frac {33}{20}}\,$

und

${}x={\frac {67}{20}}\,.$

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

1. Wir betrachten das lineare Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$, das aus den beiden Gleichungen

   ${}{\frac {3}{7}}x+{\frac {4}{9}}y-{\frac {3}{15}}z={\frac {1}{35}}\,$

   und

   ${}-{\frac {5}{3}}x+{\frac {1}{4}}y-{\frac {6}{7}}z={\frac {11}{10}}\,$

   besteht. Bestimme ein lineares Gleichungssystem, das zu diesem System äquivalent ist und zusätzlich die Eigenschaft besitzt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

2. Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$ ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

Lösung

1. Ein Hauptnenner für alle Brüche, die in dem System vorkommen, ist

   ${}4\cdot 9\cdot 5\cdot 7=1260\,.$

   Wir multiplizieren beide Gleichungen mit ${}1260$ und erhalten das äquivalente System

   ${}540x+560y-252z=36\,$

   und

   ${}-2100x+315y-1080z=1386\,$

   mit ganzzahligen Koeffizienten.

2. Es seien

   ${}c_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$

   mit ${}a_{i},b_{i}\in \mathbb {Z}$, ${}b_{i}\neq 0$, sämtliche Koeffizienten (einschließlich der inhomogenen Seite), die in mindestens einer Gleichung des linearen Gleichungssystems vorkommen. Dies sind nur endlich viele Zahlen. Es sei ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches all dieser Nenner ${}b_{i}$. Wir multiplizieren alle Gleichungen des Systems mit ${}b$. Dadurch entsteht ein äquivalentes Gleichungssystem, wobei alle Koeffizienten ganzzahlig werden.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Lösung

Wegen

${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}0=0\,$

für alle

${}i=1,\ldots ,m\,$

ist das Nulltupel ${}(0,\ldots ,0)$ eine Lösung. Es seien ${}\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ und${}\left(y_{1},\,\ldots ,\,y_{n}\right)$ Lösungen des linearen Gleichungssystems. Zu ${}s\in K$ ist dann für jedes ${}i$

${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(sx_{j}\right)}=s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}=s\cdot 0=0\,.$

Entsprechend ist

${}{\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(x_{j}+y_{j}\right)}&=\sum _{j=1}^{n}{\left(a_{ij}x_{j}+a_{ij}y_{j}\right)}\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}+{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}\\&=0+0\\&=0\end{aligned}}$

für alle ${}i$. Somit ist der Lösungsraum unter Multiplikation mit einem Skalar und unter Addition abgeschlossen und bildet demnach einen Untervektorraum.

Der Gesamtlösungsraum ist der Durchschnitt der Lösungsräume zu den einzelnen Gleichungen.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Vektorraum ${}V$ und von drei Teilmengen in ${}V$ an, die jeweils zwei der Untervektorraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.

Lösung Untervektorraum/Beispiele für zwei Axiome/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (1 Punkt)

Man gebe im ${}\mathbb {R} ^{3}$ drei Vektoren an, sodass je zwei von ihnen linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.

Lösung Lineare Unabhängigkeit/R^3/Drei Vektoren paarweise unabhängig/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (8 Punkte)

Beweise das Basisaustauschlemma.

Lösung

Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist. Zunächst kann man wegen

${}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$

und ${}s_{k}\neq 0$ den Vektor ${}v_{k}$ als

${}v_{k}={\frac {1}{s_{k}}}w-\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}-\sum _{i=k+1}^{n}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}\,$

schreiben. Es sei nun ${}u\in V$ beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben

${}{\begin{aligned}u&=\sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}t_{i}v_{i}+t_{k}v_{k}+\sum _{i=k+1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}t_{i}v_{i}+t_{k}{\left({\frac {1}{s_{k}}}w-\sum _{i=1}^{k-1}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}-\sum _{i=k+1}^{n}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}v_{i}\right)}+\sum _{i=k+1}^{n}t_{i}v_{i}\\&=\sum _{i=1}^{k-1}{\left(t_{i}-t_{k}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}\right)}v_{i}+{\frac {t_{k}}{s_{k}}}w+\sum _{i=k+1}^{n}{\left(t_{i}-t_{k}{\frac {s_{i}}{s_{k}}}\right)}v_{i}.\end{aligned}}$

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung ${}k=1$ an. Es sei

${}t_{1}w+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=0\,$

eine Darstellung der Null. Dann ist

${}0=t_{1}w+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=t_{1}{\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\right)}+\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=t_{1}s_{1}v_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\left(t_{1}s_{i}+t_{i}\right)}v_{i}\,.$

Aus der linearen Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie folgt insbesondere ${}t_{1}s_{1}=0$ und wegen ${}s_{1}\neq 0$ ergibt sich ${}t_{1}=0$. Deshalb ist ${}\sum _{i=2}^{n}t_{i}v_{i}=0$ und daher gilt ${}t_{i}=0$ für alle ${}i$.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von ${}9$-Tupeln der Länge ${}9$, also die Zeilenvektoren in der Matrix

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&4&6&8&0&2&4&6&8\\3&6&9&2&5&8&1&4&7\\4&8&2&6&0&4&8&2&6\\5&0&5&0&5&0&5&0&5\\6&2&8&4&0&6&2&8&4\\7&4&1&8&5&2&9&6&3\\8&6&4&2&0&8&6&4&2\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end{pmatrix}}.$

Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ${}\mathbb {R} ^{9}$?

Lösung

Die Zeilen der Matrix seien mit ${}I-IX$ bezeichnet. Es ist

${}I+IX=III+VII=\left(10,\,10,\,10,\,10,\,10,\,10,\,10,\,10,\,10\right)\,$

und

${}II+VIII=IV+VI=\left(10,\,10,\,10,\,10,\,0,\,10,\,10,\,10,\,10\right)\,.$

Somit tragen die achte und die neunte Zeile nichts zur Vektorraumdimension bei, da sie in dem von den ersten sieben Zeilen erzeugten Untervektorraum liegen. Ferner zeigen diese Gleichungen, dass man die siebte Zeile durch die Zeile

${}VII'=\left(1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1\right)\,$

und die sechste Zeile (durch $\left(1,\,1,\,1,\,1,\,0,\,1,\,1,\,1,\,1\right)$ und damit) durch

${}VI'=\left(0,\,0,\,0,\,0,\,1,\,0,\,0,\,0,\,0\right)\,$

ersetzen kann. Wir berechnen

${}II-2I=\left(0,\,0,\,0,\,0,\,-10,\,-10,\,-10,\,-10,\,-10\right)\,,$

${}III-3I=\left(0,\,0,\,0,\,-10,\,-10,\,-10,\,-20,\,-20,\,-20\right)\,,$

${}IV-4I=\left(0,\,0,\,-10,\,-10,\,-20,\,-20,\,-20,\,-30,\,-30\right)\,,$

${}V-5I=\left(0,\,-10,\,-10,\,-20,\,-20,\,-30,\,-30,\,-40,\,-40\right)\,$

und bezeichnen hinfort die mit ${}-{\frac {1}{10}}$ multiplizierten Vektoren mit ${}II',III',IV',V'$. Es ist

${}{\begin{aligned}VII^{\prime \prime }&:=VII'-I+V'+IV'\\&=\left(1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1,\,1\right)\\&\,-\left(1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\right)\\&\,+\left(0,\,1,\,1,\,2,\,2,\,3,\,3,\,4,\,4\right)\\&\,+\left(0,\,0,\,1,\,1,\,2,\,2,\,2,\,3,\,3\right)\\&=\left(0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,0,\,-1,\,0,\,-1\right).\end{aligned}}$

In der Reihenfolge

$I,V',IV',III',VI',II'-VI',VII^{\prime \prime }$

sind diese Vektoren in oberer Dreiecksgestalt und somit ist die Dimension gleich ${}7$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}W$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$- Vektorraum (${}K$ ein Körper) und seien ${}U,V\subseteq W$ Untervektorräume der Dimension ${}\dim _{K}{\left(U\right)}=r$ und ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=s$. Es gelte ${}r+s>n$. Zeige, dass ${}U\cap V\neq 0$ ist.

Lösung

Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{r}$ eine Basis von ${}U$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{s}$ eine Basis von ${}V$. Wir betrachten die Familie der Vektoren

$u_{1},\ldots ,u_{r},v_{1},\ldots ,v_{s}.$

Wegen ${}r+s>n$ kann diese Familie nicht linear unabhängig sein, da es sonst einen ${}(r+s)$-dimensionalen Untervektorraum von ${}W$ geben würde. Also gibt es Koeffizienten ${}a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}$, die nicht alle ${}0$ sind, mit

$a_{1}u_{1}+\cdots +a_{r}u_{r}=b_{1}v_{1}+\cdots +b_{s}v_{s}.$

Dieser Vektor gehört zu ${}U\cap V$. Er ist nicht ${}0$, da andernfalls beidseitig alle Koeffizienten ${}0$ sein müssten.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die Standardbasis

${}{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,$

und die Basis

${}{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}\,.$

a) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$.

b) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$.

Lösung Basiswechsel/R^2/Standard und 12,-23/Aufgabe/Lösung