Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 6/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge der „symmetrischen“ ${}2\times 2$ -Matrizen über einem Körper ${}K$ , also Matrizen der Form

{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},

die die Bedingung

{}a_{12}=a_{21}\,

erfüllen, mit komponentenweiser Addition und komponentenweiser Skalarmultiplikation einen ${}K$ - Vektorraum bildet.

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ . Zeige, dass auch das Produkt

V\times W

ein ${}K$ -Vektorraum ist.

Aufgabe * Aufgabe 6.3 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$ . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Überprüfe, ob die folgenden Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{2}$ Untervektorräume sind:

${}V_{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x+2y=0\right\}}$ ,
${}V_{2}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq y\right\}}$ ,
${}V_{3}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x+1\right\}}$ ,
${}V_{4}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid xy=0\right\}}$ .

Aufgabe Aufgabe 6.5 ändern

Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen Untervektorraum einschränken lässt und dass dieser mit den von ${}V$ geerbten Strukturen selbst ein Vektorraum ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Es seien ${}U,W\subseteq V$ Untervektorräume. Zeige, dass die Vereinigung ${}U\cup W$ nur dann ein Untervektorraum ist, wenn ${}U\subseteq W$ oder ${}W\subseteq U$ gilt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}D$ die Menge aller reellen ${}2\times 2$ -Matrizen

{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},

die die Bedingung

{}a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=0\,

erfüllen. Zeige, dass ${}D$ kein Untervektorraum im Raum aller ${}2\times 2$ -Matrizen ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}I$ eine Indexmenge. Zeige, dass

{}K^{I}:=\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\,

mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein ${}K$ -Vektorraum ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, und seien ${}J\subseteq I$ zwei Indexmengen. Zeige, dass dann ${}K^{J}=\operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}$ in natürlicher Weise ein Untervektorraum von ${}K^{I}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, sei ${}I$ eine Indexmenge, und ${}K^{I}=\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}$ der zugehörige Vektorraum. Zeige, dass

E={\left\{f\in K^{I}\mid f(i)=0{\text{ für alle }}i\in I{\text{ bis auf endlich viele Ausnahmen}}\right\}}

ein Untervektorraum von ${}K^{I}$ ist.

Zu jedem ${}i\in I$ sei ${}e_{i}\in K^{I}$ durch

e_{i}(j)={\begin{cases}1,{\text{ falls }}j=i\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}

gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element ${}f\in E$ eindeutig als Linearkombination der Familie ${}e_{i}$ , ${}i\in I$ , darstellen lässt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei

{}C={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{Cauchyfolge in }}K\right\}}\,.

Zeige, dass ${}C$ ein Untervektorraum des Folgenraums

{}F={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{Folge in }}K\right\}}\,

ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Drücke in ${}\mathbb {Q} ^{2}$ den Vektor

(2,-7)

als Linearkombination der Vektoren

(5,-3){\text{ und }}(-11,4)

aus.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Drücke in ${}{\mathbb {C} }^{2}$ den Vektor

(1,0)

als Linearkombination der Vektoren

(3+5{\mathrm {i} },-3+2{\mathrm {i} }){\text{ und }}(1-6{\mathrm {i} },4-{\mathrm {i} })

aus.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Drücke in ${}\mathbb {R} ^{3}$ den Vektor

(1,0,0)

als Linearkombination der Vektoren

(1,-2,5),(4,0,3){\text{ und }}(2,1,1)

aus.

Aufgabe Aufgabe 6.15 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Es sei ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Familie von Vektoren in ${}V$ und ${}w\in V$ ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie

w,v_{i},i\in I,

ein Erzeugendensystem von ${}V$ ist und dass sich ${}w$ als Linearkombination der ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , darstellen lässt. Zeige, dass dann schon ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , ein Erzeugendensystem von ${}V$ ist.

Aufgabe Aufgabe 6.16 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.

Sei ${}U_{j}$ , ${}j\in J$ , eine Familie von Untervektorräumen von ${}V$ . Dann ist auch der Durchschnitt
${}U=\bigcap _{j\in J}U_{j}\,$

ein Untervektorraum.
Zu einer Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , von Elementen in ${}V$ ist der erzeugte Unterraum ein Unterraum.
Die Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , ist genau dann ein Erzeugendensystem von ${}V$ , wenn
${}\langle v_{i},\,i\in I\rangle =V\,$

ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 6.17 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten (dabei sei ${}s\in K$ und ${}v\in V$ ).

Es ist ${}0v=0$ .
Es ist ${}s0=0$ .
Es ist ${}(-1)v=-v$ .
Aus ${}s\neq 0$ und ${}v\neq 0$ folgt ${}sv\neq 0$ .

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für einen Vektorraum ${}V$ und von drei Teilmengen in ${}V$ an, die jeweils zwei der Unterraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.