Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 7/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Man gebe im drei Vektoren an, sodass je zwei von ihnen linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.
- Übungsaufgaben
Entscheide, ob die folgenden Vektoren linear unabhängig sind.
- , , , im -Vektorraum .
- , im -Vektorraum .
- , im -Vektorraum .
- , im -Vektorraum .
Bestimme eine Basis des Untervektorraums
Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung
Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
Es sei ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
ist.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und , , eine Familie von Vektoren in . Beweise die folgenden Aussagen.
- Wenn die Familie linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge die Familie , , linear unabhängig.
- Die leere Familie ist linear unabhängig.
- Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
- Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
- Ein Vektor ist genau dann linear unabhängig, wenn ist.
- Zwei Vektoren und sind genau dann linear unabhängig, wenn weder ein skalares Vielfaches von ist noch umgekehrt.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und , , eine Familie von Vektoren in . Es sei , , eine Familie von Elementen aus . Zeige, dass die Familie , , genau dann linear unabhängig (ein Erzeugendensystem von , eine Basis von ) ist, wenn dies für die Familie , , gilt.
Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass eine Basis aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.
Betrachte die reellen Zahlen als - Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen , wobei durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist. Tipp: Verwende, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt.
Es sei ein angeordneter Körper und sei
der Vektorraum aller Folgen in (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
a) Zeige (ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden), dass die Menge der Nullfolgen, also
ein - Untervektorraum von ist.
b) Sind die beiden Folgen
linear unabhängig in ?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei der - dimensionale Standardraum über und sei eine Familie von Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine - Basis des ist, wenn diese Familie aufgefasst im eine -Basis des bildet.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei
ein von verschiedener Vektor. Man finde ein lineares Gleichungssystem in Variablen mit Gleichungen, dessen Lösungsraum genau
ist.
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