Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 7/kontrolle



Die Pausenaufgabe

Man gebe im drei Vektoren an, sodass je zwei von ihnen linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.




Übungsaufgaben

Entscheide, ob die folgenden Vektoren linear unabhängig sind.

  1. , , , im -Vektorraum .
  2. , im -Vektorraum .
  3. , im -Vektorraum .
  4. , im -Vektorraum .



Zeige, dass die drei Vektoren

im linear unabhängig sind.



Bestimme eine Basis des Untervektorraums



Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung



Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems



Zeige, dass im die drei Vektoren

eine Basis bilden.



Bestimme, ob im die beiden Vektoren

eine Basis bilden.



Es sei ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau

ist.



Im seien die beiden Untervektorräume

und

gegeben. Bestimme eine Basis für .



Aufgabe Aufgabe 7.11 ändern

Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und , , eine Familie von Vektoren in . Beweise die folgenden Aussagen.

  1. Wenn die Familie linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge die Familie  , , linear unabhängig.
  2. Die leere Familie ist linear unabhängig.
  3. Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
  4. Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
  5. Ein Vektor ist genau dann linear unabhängig, wenn ist.
  6. Zwei Vektoren und sind genau dann linear unabhängig, wenn weder ein skalares Vielfaches von ist noch umgekehrt.



Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und , , eine Familie von Vektoren in . Es sei , , eine Familie von Elementen aus . Zeige, dass die Familie , , genau dann linear unabhängig (ein Erzeugendensystem von , eine Basis von ) ist, wenn dies für die Familie , , gilt.



Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass eine Basis aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.



Betrachte die reellen Zahlen als - Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen , wobei durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist. Tipp: Verwende, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt.



Es sei ein angeordneter Körper und sei

der Vektorraum aller Folgen in (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

a) Zeige (ohne Sätze über konvergente Folgen zu verwenden), dass die Menge der Nullfolgen, also

ein - Untervektorraum von ist.

b) Sind die beiden Folgen

linear unabhängig in ?




Aufgaben zum Abgeben

Bestimme, ob im die drei Vektoren

eine Basis bilden.



Bestimme, ob im die beiden Vektoren

eine Basis bilden.



Aufgabe (2 Punkte)Aufgabe 7.18 ändern

Zeige, dass im Raum der - Matrizen die Matrizen , die genau an der Stelle den Eintrag und sonst überall den Eintrag haben, eine Basis bilden.



Es sei der - dimensionale Standardraum über und sei eine Familie von Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine - Basis des ist, wenn diese Familie aufgefasst im eine -Basis des bildet.



Es sei ein Körper und sei

ein von verschiedener Vektor. Man finde ein lineares Gleichungssystem in Variablen mit Gleichungen, dessen Lösungsraum genau

ist.



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