Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 3/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Formuliere die binomischen Formeln für zwei reelle Zahlen und beweise die Formeln mit Hilfe des Distributivgesetzes.

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto a-b.$

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten auf der Menge

${}M=\{a,b,c,d\}\,$

die durch die Tabelle

${}\star$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$
${}a$	${}b$	${}a$	${}c$	${}a$
${}b$	${}d$	${}a$	${}b$	${}b$
${}c$	${}a$	${}b$	${}c$	${}c$
${}d$	${}b$	${}d$	${}d$	${}d$

gegebene Verknüpfung ${}\star$.

1. Berechne

   $b\star (a\star (d\star a)).$

2. Besitzt die Verknüpfung ${}\star$ ein neutrales Element?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Potenzieren auf den positiven natürlichen Zahlen, also die Zuordnung

$\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(a,b)\longmapsto a^{b},$

weder kommutativ noch assoziativ ist. Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Verknüpfung auf einer Geraden, die zwei Punkten ihren Mittelpunkt zuordnet, kommutativ, aber nicht assoziativ ist. Gibt es ein neutrales Element?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man untersuche die Verknüpfung

$\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,(x,y)\longmapsto \operatorname {min} \,(x,y),$

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

Aufgabe Aufgabe 3.7 ändern

Wir betrachten die Menge

${}M={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid 0\leq q<1\right\}}\,$

Zeige, dass auf ${}M$ durch

${}a\oplus b:={\begin{cases}a+b,{\text{ falls }}a+b<1\,,\\a+b-1{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.

Aufgabe Aufgabe 3.8 ändern

Zeige, dass die Menge

${}M={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid 0\leq q<1\right\}}\,$

mit der in Aufgabe 3.7 definierten Verknüpfung eine kommutative Gruppe ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge mit einer Verknüpfung darauf, die wir als Produkt schreiben.

1. Wie viele sinnvollen Klammerungen gibt es für die Verknüpfung von vier Elementen?
2. Die Verknüpfung sei nun assoziativ. Zeige, dass das Produkt von vier Elementen nicht von irgendeiner Klammerung abhängt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung darauf, die wir als ${}\star$ schreiben. Zeige, dass

${}(a\star b)\star (c\star (d\star e))=a\star ((b\star (c\star d))\star e)\,$

für beliebige ${}a,b,c,d,e\in M$ gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Menge und ${}M={\mathfrak {P}}\,(G)$ die zugehörige Potenzmenge. Betrachte den Durchschnitt von Teilmengen von ${}G$ als eine Verknüpfung auf ${}M$. Ist diese Verknüpfung kommutativ, assoziativ, besitzt sie ein neutrales Element?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ die Menge der Abbildungen einer zweielementigen Menge in sich selbst, also

${}M={\left\{F:\{0,1\}\rightarrow \{0,1\}\mid F{\text{ Abbildung}}\right\}}\,.$

Benenne die Elemente aus ${}M$ und lege eine Wertetabelle für die Verknüpfung auf ${}M$ an, die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen definiert ist.

Aufgabe Aufgabe 3.13 ändern

Es sei ${}S$ eine Menge und

${}G={\left\{F:S\rightarrow S\mid F{\text{ bijektiv}}\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}G$ mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass

${}{\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,$

für alle ${}x\in G$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}x,y\in G$. Drücke das Inverse von ${}xy$ durch die Inversen von ${}x$ und ${}y$ aus.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man konstruiere eine Gruppe mit drei Elementen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Ring und seien ${}\spadesuit ,\heartsuit$ und ${}\clubsuit$ Elemente in ${}R$. Berechne das Produkt

${\left(\spadesuit ^{2}-3\heartsuit \clubsuit \heartsuit -2\clubsuit \heartsuit ^{2}+4\spadesuit \heartsuit ^{2}\right)}{\left(2\spadesuit \heartsuit ^{3}\spadesuit -\clubsuit ^{2}\spadesuit \heartsuit \spadesuit \right)}{\left(1-3\clubsuit \heartsuit \spadesuit \clubsuit ^{2}\heartsuit \right)}.$

Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f,a_{i},b_{j}\in R$. Zeige die folgenden Gleichungen:

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{i}+\sum _{j=0}^{m}b_{j}f^{j}=\sum _{k=0}^{\max(n,m)}(a_{k}+b_{k})f^{k}$

und

${\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}f^{j}\right)}=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}f^{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{r=0}^{k}a_{r}b_{k-r}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere den Graphen der reellen Addition

$+\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,$

und den Graphen der reellen Multiplikation

$\cdot \colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y.$

Die folgende Aufgabe beweist man durch Induktion. Dies ist ein Beweisverfahren, das üblicherweise in der Analysis eingeführt wird. Siehe auch den Anhang zum Kurs.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise die allgemeine binomische Formel, also die Formel

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$

für ${}n\in \mathbb {N}$ und beliebige Elemente ${}a,b\in K$ in einem Körper ${}K$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne

$(x+{\mathrm {i} }y)^{n}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}x,y,z,w$ Elemente in einem Körper, wobei ${}z$ und ${}w$ nicht ${}0$ seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

1. ${}{\frac {x}{1}}=x\,,$

2. ${}{\frac {1}{z}}=z^{-1}\,,$

3. ${}{\frac {1}{-1}}=-1\,,$

4. ${}{\frac {0}{z}}=0\,,$

5. ${}{\frac {z}{z}}=1\,,$

6. ${}{\frac {x}{z}}={\frac {xw}{zw}}\,,$

7. ${}{\frac {x}{z}}\cdot {\frac {y}{w}}={\frac {xy}{zw}}\,,$

8. ${}{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {xw+yz}{zw}}\,.$

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation (und die Subtraktion mit der Division) vertauscht, also

${}(x-z)\cdot (y-w)=(x+w)(y+z)-(z+w)\,?$

Zeige, dass die „beliebte Formel“

${}{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{w}}={\frac {x+y}{z+w}}\,$

nicht gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass in einem Körper das „umgekehrte Distributivgesetz“, also

${}a+(bc)=(a+b)\cdot (a+c)\,,$

nicht gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge

$\{G,U\}$

eine „Addition“ und eine „Multiplikation“, die diese Regeln „repräsentieren“.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die einelementige Menge ${}\{0\}$ alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass ${}0=1$ ist.

Aufgabe Aufgabe 3.26 ändern

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ ein Körperelement ${}n_{K}$ zuordnen kann, derart, dass ${}0_{K}$ das Nullelement in ${}K$ und ${}1_{K}$ das Einselement in ${}K$ ist und dass

${}(n+1)_{K}=n_{K}+1_{K}\,$

gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften

$(n+m)_{K}=n_{K}+m_{K}{\text{ und }}(nm)_{K}=n_{K}\cdot m_{K}$

besitzt.

Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper mit ${}2\neq 0$. Zeige, dass für ${}f,g\in K$ die Beziehung

${}fg={\frac {1}{4}}{\left({\left(f+g\right)}^{2}-{\left(f-g\right)}^{2}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Ring und ${}M$ eine Menge. Definiere auf der Abbildungsmenge

$A={\left\{f:M\rightarrow R\mid f{\text{ Abbildung}}\right\}}$

eine Ringstruktur.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Man untersuche die Verknüpfung

$\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,(x,y)\longmapsto \operatorname {max} \,(x,y),$

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ mit dem Durchschnitt ${}\cap$ als Multiplikation und der symmetrischen Differenz

${}A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\,$

als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige für einen Körper ${}K$ die folgenden Eigenschaften.

(1) Für jedes ${}a\in K$ ist die Abbildung

$\alpha _{a}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x+a,$

bijektiv.

(2) Für jedes ${}b\in K$, ${}b\neq 0$, ist die Abbildung

$\mu _{b}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto bx,$

bijektiv.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die „Rechenregel“

${}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a+c}{b+d}}\,$

bei ${}a,c\in \mathbb {N} _{+}$ (und ${}b,d,b+d\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$) niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit ${}a,b,c,d,b+d\neq 0$, wo diese Regel gilt.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Menge

${}K=\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} ={\left\{(a,b)\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\}}\,$

mit den beiden ausgezeichneten Elementen

$0=(0,0){\text{ und }}1=(1,0),$

der Addition

${}(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)\,$

und der Multiplikation

${}(a,b)\cdot (c,d):=(ac-bd,ad+bc)\,.$

Zeige, dass ${}K$ mit diesen Operationen ein Körper ist.