Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 25

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}$

trigonalisierbar ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Matrix

${\begin{pmatrix}4&7&-3\\2&7&5\\0&0&-6\end{pmatrix}}$

trigonalisierbar ist oder nicht.

Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

über ${}\mathbb {R}$ nicht trigonalisierbar ist.

Aufgabe

Bestimme, ob die Matrix

${\begin{pmatrix}4&2&2\\1&1&3\\3&0&4\end{pmatrix}}$

über dem Körper mit fünf Elementen trigonalisierbar ist oder nicht.

Aufgabe

Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper ${}K$, seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i}$

lineare Abbildungen und es sei

$\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\times \cdots \times V_{n}$

die Produktabbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn dies für alle ${}\varphi _{i}$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ ein trigonalisierbarer Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass ${}P(\varphi )$ ebenfalls trigonalisierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und

${\varphi }^{*}\colon {V}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$

die duale Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn ${}{\varphi }^{*}$ trigonalisierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn ${}\varphi$ bezüglich einer geeigneten Basis durch eine untere Dreiecksmatrix

${\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\\ast &a_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\ast &\cdots &\ast &a_{n-1}&0\\\ast &\cdots &\cdots &\ast &a_{n}\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine ${}2\times 2$- Matrix über einem Körper ${}K$. Zeige, dass ${}M$ genau dann trigonalisierbar ist, wenn ${}M$ einen Eigenvektor besitzt.

Aufgabe

Zeige dass die Hintereinanderschaltung von zwei diagonalisierbaren Abbildungen im Allgemeinen nicht trigonalisierbar sein muss.

Aufgabe

Bestimme, ob die Permutationsmatrix

${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$

über ${}\mathbb {R}$ trigonalisierbar ist.

Aufgabe

Bestimme die Minimalpolynome der (links oben) Untermatrizen zu

${\begin{pmatrix}1&2&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Bestimme, ob die folgende Kette von Untervektorräumen im ${}\mathbb {R} ^{3}$ eine Fahne ist.

$V_{0}=0,\,V_{1}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}2\\7\\-5\end{pmatrix}},\,V_{2}=\langle {\begin{pmatrix}4\\-3\\9\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-6\\-4\\4\end{pmatrix}}\rangle ,\,V_{3}=\mathbb {R} ^{3}.$

Aufgabe

Bestimme, ob die folgende Kette von Untervektorräumen im ${}\mathbb {R} ^{3}$ eine Fahne ist.

$V_{0}=0,\,V_{1}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}8\\-3\\1\end{pmatrix}},$

$V_{2}=\operatorname {kern} \varphi ,{\text{ wobei }}\varphi :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} {\text{ durch die Matrix}}\left(1,\,2,\,-2\right){\text{ gegeben ist }},\,V_{3}=\mathbb {R} ^{3}.$

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass es Fahnen in ${}V$ gibt.

Aufgabe *

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der gleichen Dimension ${}n$ und es seien

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$

und

${}0=W_{0}\subset W_{1}\subset \ldots \subset W_{n-1}\subset W_{n}=W\,$

Fahnen in ${}V$ bzw. ${}W$. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

mit

${}\varphi (V_{i})=W_{i}\,$

für alle ${}i=0,1,\ldots ,n$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen und ${}V$ ein zweidimensionaler ${}K$- Vektorraum. Bestimme die Anzahl der Fahnen in ${}V$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ der Körper mit drei Elementen und ${}V$ ein dreidimensionaler ${}K$- Vektorraum. Bestimme die Anzahl der Fahnen in ${}V$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$- Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$

eine Fahne in ${}V$. Zeige, dass die

${}W_{i}:=V_{n-i}^{\perp }\,$

eine Fahne im Dualraum ${}{V}^{*}$ bilden.

Aufgabe

Es sei

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$

eine Fahne in einem ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum ${}V$. Wir betrachten ${}V$ als reellen Vektorraum der reellen Dimension ${}2n$. Zeige, dass es reelle Untervektorräume

${}W_{i}\subseteq V\,$

derart gibt, dass

${}0\subset W_{1}\subset V_{1}\subset W_{2}\subset V_{2}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset W_{n}\subset V_{n}\,$

eine reelle Fahne ist.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$- Vektorraum über einem Körper ${}K$. Es sei

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$

eine Fahne in ${}V$. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

derart gibt, dass diese Fahne die einzige ${}\varphi$- invariante Fahne ist.

Aufgabe *

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix über einem Körper ${}K$.

a) Zeige, dass es eine zu ${}M$ ähnliche Matrix gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich ${}0$ ist.

b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu ${}M$ ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich ${}0$ sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Trigonalisiere die komplexe Matrix

${\begin{pmatrix}2+{\mathrm {i} }&3\\5{\mathrm {i} }&1-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob die Matrix

${\begin{pmatrix}5&-1&3\\7&9&8\\6&2&-7\end{pmatrix}}$

über ${}\mathbb {R}$ trigonalisierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

${\begin{pmatrix}1&5&6&2\\5&7&-4&-3\\0&0&-2&8\\0&0&1&9\end{pmatrix}}$

trigonalisierbar ist oder nicht.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine reelle ${}2\times 2$-Matrix, die über ${}\mathbb {R}$ nicht trigonalisierbar ist. Zeige, dass ${}M$ über ${}{\mathbb {C} }$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix über ${}\mathbb {Q}$, deren Spur gleich ${}0$ sei. Zeige, dass es eine zu ${}M$ ähnliche Matrix ${}N$ der Gestalt

${}N={\begin{pmatrix}0&r\\s&0\end{pmatrix}}\,$

gibt.