Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 19

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten.

1. Die leere Menge ${}\emptyset$ und die Gesamtmenge ${}M$ sind offen.
2. Es sei ${}I$ eine beliebige Indexmenge und seien ${}U_{i}$, ${}i\in I$, offene Mengen. Dann ist auch die Vereinigung

   $\bigcup _{i\in I}U_{i}$

   offen.
3. Es sei ${}I$ eine endliche Indexmenge und seien ${}U_{i}$, ${}i\in I$, offene Mengen. Dann ist auch der Durchschnitt

   $\bigcap _{i\in I}U_{i}$

   offen.

Aufgabe *

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die offenen Kugeln ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$ offen sind.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die abgeschlossenen Kugeln ${}B\left(x,\epsilon \right)$ abgeschlossen sind.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass in ${}M$ die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten ${}x$ und ${}y$ gibt es offene Mengen ${}U$ und ${}V$ mit

$x\in U{\text{ und }}y\in V{\text{ und }}U\cap V=\emptyset .$

Aufgabe

Zeige, dass die Summenmetrik im ${}\mathbb {R} ^{n}$ eine Metrik ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Maximumsmetrik im ${}\mathbb {R} ^{n}$ eine Metrik ist.

Aufgabe

Zeige, dass auf jeder Menge ${}M$ die diskrete Metrik in der Tat eine Metrik ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge, die mit der diskreten Metrik versehen sei. Zeige, dass jede Teilmenge von ${}M$ sowohl offen als auch abgeschlossen ist.

Aufgabe *

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl mit ${}\vert {z}\vert <1$. Zeige, dass die Folge ${}{\left(z^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine komplexe Zahl mit ${}\vert {z}\vert >1$. Zeige, dass die Folge ${}{\left(z^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ divergiert.

Die nächsten Aufgaben verwenden den folgenden Begriff.

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Ein Punkt ${}x\in M$ heißt Randpunkt von ${}T$, wenn für jedes ${}\epsilon >0$ der offene Ball

$U{\left(x,\epsilon \right)}$

sowohl Punkte aus ${}T$ als auch Punkte aus ${}M\setminus T$ enthält.

Die Menge aller Randpunkte von ${}T$ heißt Rand von ${}T$, geschrieben ${}\operatorname {Rand} \,(T)$.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass der Rand von ${}T$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Menge

$T\cup \operatorname {Rand} \,(T)$

abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Menge

$T\setminus \operatorname {Rand} \,(T)$

offen ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass der Rand von ${}T$ genau dann leer ist, wenn ${}T$ sowohl offen als auch abgeschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge

$S={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$

in ${}\mathbb {R} ^{2}$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ in ${}\mathbb {R}$ weder offen noch abgeschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen in ${}{\mathbb {C} }$ abgeschlossen ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass jede endliche Teilmenge ${}T\subseteq M$ abgeschlossen ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass eine Teilmenge ${}Z\subseteq T$ genau dann offen in ${}T$ ist, wenn es eine in ${}M$ offene Menge ${}U$ mit ${}Z=T\cap U$ gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Folge in einem metrischen Raum genau einen Häufungspunkt besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$. Zeige, dass ein Punkt ${}x\in M$ genau dann ein Häufungspunkt der Folge ist, wenn es eine gegen ${}x$ konvergente Teilfolge gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass ${}T$ genau dann abgeschlossen ist, wenn die Inklusion ${}\operatorname {Rand} \,(T)\subseteq T$ gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}P$ und ${}Q$ zwei verschiedene Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$ und ${}G$ die dadurch definierte Gerade. Zeige, dass ${}G$ abgeschlossen in ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$. Zeige, dass die Menge aller Häufungspunkte dieser Folge abgeschlossen ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Häufungspunkte der komplexen Folge ${}{\left({\mathrm {i} }^{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Man gebe für jeden Häufungspunkt eine Teilfolge an, die gegen diesen Punkt konvergiert.

Aufgabe (6 Punkte)

Man gebe eine Folge reeller Zahlen derart an, dass jede reelle Zahl ein Häufungspunkt dieser Folge ist.