Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 20

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass die Inklusion ${}T\subseteq M$ stetig ist.

metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ . Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}L$ mit einem Häufungspunkt ${}x\in L$ . Zeige, dass ${}f(x)$ ein Häufungspunkt der Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist.

Aufgabe

Es sei

f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),

eine Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$ und sei ${}P\in L$ . Es sei ${}\epsilon >0$ . Zeige, dass ${}f$ genau dann in ${}P$ stetig ist, wenn die eingeschränkte Abbildung

{\tilde {f}}\colon U{\left(P,\epsilon \right)}\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),

in ${}P$ stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Addition

{\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x+y,

und die Multiplikation

{\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,

stetig sind.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei

f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion. Es sei ${}x\in M$ ein Punkt mit ${}f(x)>0$ . Zeige, dass dann auch ${}f(y)>0$ für alle ${}y$ aus einer offenen Ballumgebung von ${}x$ gilt.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,

stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {x}},

stetig ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,

deren Graph nicht abgeschlossen in ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ die euklidische Metrik, die Summenmetrik und die Maximumsmetrik dieselben offenen Mengen definieren.

Aufgabe

Es sei ${}X=\mathbb {R} ^{n}$ mit der euklidischen Metrik und ${}Y=\mathbb {R} ^{n}$ mit der diskreten Metrik. Es sei

f\colon Y\longrightarrow X

die Identität. Zeige, dass ${}f$ stetig ist, die Umkehrabbildung ${}f^{-1}$ aber nicht.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ metrische Räume und seien

f:L\longrightarrow M\,\,{\text{  und }}\,\,g:M\longrightarrow N

Abbildungen. Es sei ${}f$ stetig in ${}x\in L$ und es sei ${}g$ stetig in ${}f(x)\in M$ . Zeige, dass die Hintereinanderschaltung

g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)),

stetig in

{}x

ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein Untervektorraum im euklidischen Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ . Zeige, dass ${}V$ abgeschlossen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

{}b_{n}=2a_{n}^{4}-6a_{n}^{3}+a_{n}^{2}-5a_{n}+3\,

definierten Folge, wobei

{}a_{n}={\frac {3n^{3}-5n^{2}+7}{4n^{3}+2n-1}}\,

ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer Folge ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ im ${}\mathbb {R} ^{2}$ derart, dass die beiden Komponentenfolgen ${}{\left(z_{1n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{2n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ jeweils mindestens einen Häufungspunkt besitzen, die Folge selbst aber nicht.