Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 21

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde für die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{2}+x-1,$

eine Nullstelle im Intervall ${}[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal ${}1/100$.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und seien ${}a<b<c$ reelle Zahlen. Es seien

$f\colon [a,b]\longrightarrow M$

und

$g\colon [b,c]\longrightarrow M$

stetige Abbildungen mit ${}f(b)=g(b)$. Zeige, dass dann die Abbildung

$h\colon [a,c]\longrightarrow M$

mit

$h(t)=f(t){\text{ für }}t\leq b{\text{ und }}h(t)=g(t){\text{ für }}t>b$

ebenfalls stetig ist.

Aufgabe

Betrachte die Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit

$f(x)={\begin{cases}1,{\text{ falls }}x\geq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}$

Zeige mit jeder der Charakterisierungen aus Satz 20.3, dass diese Funktion nicht stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit

$f(x)={\begin{cases}1,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$

in keinem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass ${}f$ konstant ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

die genau zwei Werte annimmt.

Aufgabe

Es sei ${}I$ ein nichtleeres reelles Intervall und ${}x\in I$ ein Punkt. Bestimme die Teilmengen von ${}I\setminus \{x\}$, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}M=A\cup B$ mit nichtleeren Teilmengen ${}A,B\subseteq M$ und ${}A\cap B=\emptyset$. Es gebe ein ${}\delta >0$ mit

$d(x,y)\geq \delta {\text{ für alle }}x\in A,\,y\in B.$

Zeige, dass ${}A$ (und auch ${}B$) sowohl offen als auch abgeschlossen ist.

Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.

Ein nichtleerer metrischer Raum ${}X$ heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten ${}x,y\in X$ eine stetige Abbildung

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$

mit ${}\gamma (a)=x$ und ${}\gamma (b)=y$ gibt.

Aufgabe *

Zeige, dass ein wegzusammenhängender metrischer Raum zusammenhängend ist.

Aufgabe

Zeige, dass der ${}\mathbb {R} ^{n}$ wegzusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei ${}n\geq 2$ und ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Punkt. Zeige, dass ${}\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P\}$ wegzusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine offene (oder abgeschlossene) Kugel im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass ${}T$ wegzusammenhängend ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Finde für die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{3}-3x+1,$

eine Nullstelle im Intervall ${}[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal ${}1/200$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ mindestens einen Eigenvektor besitzt.

Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des Fixpunktes.

Es sei ${}M$ eine Menge und

$f\colon M\longrightarrow M$

eine Abbildung. Ein Element ${}x\in M$ mit ${}f(x)=x$ heißt Fixpunkt der Abbildung.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow [a,b]$

eine stetige Funktion des Intervalls ${}[a,b]$ in sich. Zeige, dass ${}f$ einen Fixpunkt besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Betrachte die folgende Relation auf ${}X$: Es ist

$x\sim y,\,{\text{ falls es eine stetige Abbildung }}\gamma :[a,b]\longrightarrow X{\text{ mit }}\gamma (a)=x{\text{ und }}\gamma (b)=y{\text{ gibt}}.$

Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}a,b,r\in \mathbb {R}$, ${}r>0$, und sei

${}K={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\right\}}\,$

der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}M=(a,b)$ und dem Radius ${}r$. Es sei ${}G$ eine Gerade in ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit der Eigenschaft, dass es auf ${}G$ mindestens einen Punkt ${}P$ gibt mit ${}d(M,P)\leq r$. Zeige, dass ${}K\cap G\neq \emptyset$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge

$n\mapsto x_{n}=\left(1+{\frac {1}{2n}}\right)^{n}.$

Aufgabe (8 Punkte)

Ein Billardtisch sei ${}127$ cm breit und ${}254$ cm lang, die Kugeln haben einen Radius von ${}2$ cm und die Ecklöcher seien ein Viertelkreis mit Radius ${}5$ cm um einen Eckpunkt. An den Tisch sei ein Koordinatensystem angelegt, das parallel zu den Tischseiten verläuft und bei dem die linke untere Ecke der Nullpunkt sei.

Berechne für die linke untere Ecke die Koordinaten der beiden Punkte des Lochrandes, durch die der Mittelpunkt einer Kugel hindurch muss, wenn sie eingelocht werden soll. Wie lang ist der Abstand zwischen diesen beiden Punkten, wie lang ist die Lochberandung zwischen diesen Punkten?

Eine Kugel soll nun direkt (ohne Verwendung von Bande oder anderen Kugeln) in dieses Loch versenkt werden, wobei der Queuestoß stets in Richtung der Kugelmitte und an deren „Äquator“ durchgeführt wird. Welche Winkeltoleranz zum Versenken der Kugel liegt vor, wenn der Kugelmittelpunkt die folgende Position besitzt:

a) (63.5, 63.5)

b) (100, 100)

c) (63.5, 192,5)

d) (63.5, 10)

Welche Länge hat das zugehörige Kreissegment auf der Kugel?

Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe (5 Punkte)

Fertige in der Situation der Aufgabe 21.20 eine hochladbare Grafik an, die auf dem Billardtisch die Linien von gleichem Schwierigkeitsgrad (also gleicher Winkeltoleranz zum Einlochen) zeigt.

Fußnoten