Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 63
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe
Es sei ein metrischer Raum. Zeige, dass in die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten und gibt es offene Mengen und mit
Aufgabe *
Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum jeder Punkt abgeschlossen ist.
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass dann auch jeder Unterraum mit der induzierten Topologie eine abzählbare Basis besitzt.
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass es zu jeder Überdeckung mit offenen Mengen eine abzählbare Teilüberdeckung gibt.
Aufgabe
Es sei ein Maßraum. Zeige, dass die Mengen
einen Mengen-Präring, aber im Allgemeinen keine Mengen-Algebra bilden.
Aufgabe
Es sei ein Maßraum und . Zeige, dass durch
ein Maß auf definiert ist.[1] Diskutiere insbesondere die Teilmengen mit .
Aufgabe
Es sei ein Messraum. Wir nennen ein Maß auf explosiv, wenn es lediglich die Werte und annimmt.
a) Zeige, dass (für ) durch
ein Maß definiert ist.
b) Es sei ein Maß auf . Zeige, dass durch
ebenfalls ein Maß definiert ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass es eine abzählbare Familie von offenen Bällen im gibt, die eine Basis der Topologie bilden.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Hausdorff-Raum und es seien zwei disjunkte endliche Teilmengen. Zeige, dass es offene Mengen mit , und mit gibt.
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass es auf jedem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ein wohldefiniertes Konzept von Borel-Mengen gibt.
Aufgabe (7 Punkte)
- Fußnoten
- ↑ Dieses Maß nennt man das mit umskalierte Maß.
<< | Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III | >> |
---|