Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 63
- Aufwärmaufgaben
Es sei ein metrischer Raum. Zeige, dass in die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten und gibt es offene Mengen und mit
Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum jeder Punkt abgeschlossen ist.
Es sei ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass dann auch jeder Unterraum mit der induzierten Topologie eine abzählbare Basis besitzt.
Es sei ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass es zu jeder Überdeckung mit offenen Mengen eine abzählbare Teilüberdeckung gibt.
Es sei ein Maßraum. Zeige, dass die Mengen
einen Mengen-Präring, aber im Allgemeinen keine Mengen-Algebra bilden.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass es eine abzählbare Familie von offenen Bällen im gibt, die eine Basis der Topologie bilden.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Hausdorff-Raum und es seien zwei disjunkte endliche Teilmengen. Zeige, dass es offene Mengen mit , und mit gibt.
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass es auf jedem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ein wohldefiniertes Konzept von Borel-Mengen gibt.
Aufgabe (7 Punkte)
- Fußnoten
- ↑ Dieses Maß nennt man das mit umskalierte Maß.
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