Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 64



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Maßtheorie auf den natürlichen Zahlen „nahezu“ äquivalent ist zur Theorie der Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden. Warum nur nahezu? Welches maßtheoretische Konzept korrespondiert dabei zur Konvergenz der Reihe?


Aufgabe

Bestimme die Belegungsfunktion zu einem Dirac-Maß.


Aufgabe

Es sei der halboffene Einheitswürfel im . Zeige, dass für jedes und das zugehörige Gittermaß die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Wir betrachten die Menge , und zu jedem das zugehörige Gittermaß . Zeige, dass

existiert, dass aber

nicht existiert.


Aufgabe

Man zeige durch ein Beispiel, dass die „Schrumpfungsformel“ aus Lemma 64.4 (6) nicht ohne die Endlichkeitsvoraussetzung gilt.


Aufgabe

Wo geht in den Beweis zu Satz 64.7 die Endlichkeit der ein?


Aufgabe

Zeige, dass das Bildmaß eines Maßes unter einer messbaren Abbildung in der Tat ein Maß ist.


Aufgabe

Es seien , und Messräume und

und

messbare Abbildungen. Es sei ein Maß auf . Zeige, dass für die Bildmaße die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es seien und Messräume und es sei

eine messbare Abbildung. Es sei das im Punkt konzentrierte Dirac-Maß. Zeige .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Belegungsfunktion zum Gittermaß zum Gitterabstand im .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Maßraum, ein Messraum und die Menge der messbaren Abbildungen von nach . Für

sei

(dabei sei vorausgesetzt, dass diese Mengen messbar seien). Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die abgeschlossene Kreisscheibe . Zeige, dass

wobei das Gittermaß zu bezeichnet.

(Man denke an das Riemann-Integral.)

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen - endlichen Maßraum und eine messbare Abbildung

in einen Messraum derart, dass das Bildmaß nicht -endlich ist.



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