Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 64
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe
Man mache sich klar, dass die Maßtheorie auf den natürlichen Zahlen „nahezu“ äquivalent ist zur Theorie der Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden. Warum nur nahezu? Welches maßtheoretische Konzept korrespondiert dabei zur Konvergenz der Reihe?
Aufgabe
Bestimme die Belegungsfunktion zu einem Dirac-Maß.
Aufgabe
Es sei der halboffene Einheitswürfel im . Zeige, dass für jedes und das zugehörige Gittermaß die Beziehung
Aufgabe
Wir betrachten die Menge , und zu jedem das zugehörige Gittermaß . Zeige, dass
existiert, dass aber
nicht existiert.
Aufgabe
Man zeige durch ein Beispiel, dass die „Schrumpfungsformel“ aus Lemma 64.4 (6) nicht ohne die Endlichkeitsvoraussetzung gilt.
Aufgabe
Wo geht in den Beweis zu Satz 64.7 die Endlichkeit der ein?
Aufgabe
Zeige, dass das Bildmaß eines Maßes unter einer messbaren Abbildung in der Tat ein Maß ist.
Aufgabe
Es seien , und Messräume und
messbare Abbildungen. Es sei ein Maß auf . Zeige, dass für die Bildmaße die Beziehung
Aufgabe
Es seien und Messräume und es sei
eine messbare Abbildung. Es sei das im Punkt konzentrierte Dirac-Maß. Zeige .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die Belegungsfunktion zum Gittermaß zum Gitterabstand im .
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Maßraum, ein Messraum und die Menge der messbaren Abbildungen von nach . Für
sei(dabei sei vorausgesetzt, dass diese Mengen messbar seien). Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
Aufgabe (6 Punkte)
(Man denke an das Riemann-Integral.)
Aufgabe (3 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für einen - endlichen Maßraum und eine messbare Abbildung
in einen Messraum derart, dass das Bildmaß nicht -endlich ist.
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