Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 64

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Maßtheorie auf den natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ „nahezu“ äquivalent ist zur Theorie der Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden. Warum nur nahezu? Welches maßtheoretische Konzept korrespondiert dabei zur Konvergenz der Reihe?

Aufgabe

Bestimme die Belegungsfunktion zu einem Dirac-Maß.

Aufgabe

Es sei ${}W=[0,1[^{n}$ der halboffene Einheitswürfel im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass für jedes ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ und das zugehörige Gittermaß ${}\mu _{\frac {1}{k}}$ die Beziehung

${}\mu _{\frac {1}{k}}(W)=1\,$

gilt.

Aufgabe

Wir betrachten die Menge ${}T=\mathbb {Q} \cap [0,1]$, und zu jedem ${}\epsilon >0$ das zugehörige Gittermaß ${}\mu _{\epsilon }$. Zeige, dass

$\lim _{k\rightarrow \infty }\mu _{\frac {1}{k}}(T)$

existiert, dass aber

$\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,\mu _{\epsilon }(T)$

nicht existiert.

Aufgabe

Man zeige durch ein Beispiel, dass die „Schrumpfungsformel“ aus Lemma 64.4 (6) nicht ohne die Endlichkeitsvoraussetzung gilt.

Aufgabe

Wo geht in den Beweis zu Satz 64.7 die Endlichkeit der ${}M_{n}$ ein?

Aufgabe

Zeige, dass das Bildmaß eines Maßes unter einer messbaren Abbildung in der Tat ein Maß ist.

Aufgabe

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}})$, ${}(N,{\mathcal {B}})$ und ${}(S,{\mathcal {C}})$ Messräume und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

und

$\psi \colon N\longrightarrow S$

messbare Abbildungen. Es sei ${}\mu$ ein Maß auf ${}M$. Zeige, dass für die Bildmaße die Beziehung

${}(\psi \circ \varphi )_{*}\mu =\psi _{*}(\varphi _{*}\mu )\,$

gilt.

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ Messräume und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine messbare Abbildung. Es sei ${}\delta _{x}$ das im Punkt ${}x\in M$ konzentrierte Dirac-Maß. Zeige ${}\varphi _{*}(\delta _{x})=\delta _{\varphi (x)}$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Belegungsfunktion zum Gittermaß zum Gitterabstand ${}\epsilon >0$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, ${}(N,{\mathcal {B}})$ ein Messraum und ${}C$ die Menge der messbaren Abbildungen von ${}M$ nach ${}N$. Für ${}f,g\in C$

sei

$f\sim g,{\text{ falls }}\mu ({\left\{x\in M\mid f(x)\neq g(x)\right\}})=0$

(dabei sei vorausgesetzt, dass diese Mengen messbar seien). Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die abgeschlossene Kreisscheibe ${}S={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$. Zeige, dass

${}\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,\mu _{\epsilon }(S)=\pi \,,$

wobei ${}\mu _{\epsilon }$ das Gittermaß zu ${}\epsilon >0$ bezeichnet.

(Man denke an das Riemann-Integral.)

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen ${}\sigma$- endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ und eine messbare Abbildung

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

in einen Messraum ${}N$ derart, dass das Bildmaß ${}\varphi _{*}\mu$ nicht ${}\sigma$-endlich ist.