Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 65

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Welche „vertrauten geometrischen Figuren“ kann man als (verallgemeinerte) Quader in ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ oder in ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}$ auffassen?

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und sei ${}T\subseteq M\times N$ eine Teilmenge. Zu ${}x\in M$ sei ${}T(x)={\left\{y\in N\mid (x,y)\in T\right\}}$. Zeige, dass ${}\{x\}\times T(x)$ die Faser der Hintereinanderschaltung

$T\hookrightarrow M\times N{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}M$

über ${}x$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und ${}N\subseteq M$ eine Teilmenge. Zeige, dass das Mengensystem

$N\cap T,\,T\in {\mathcal {A}},$

eine ${}\sigma$- Algebra auf ${}N$ ist (man spricht von der induzierten ${}\sigma$-Algebra).

Aufgabe

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}})$ und ${}(N,{\mathcal {B}})$ zwei Messräume, die nicht leer seien und wobei die einelementigen Teilmengen messbar seien. Alle Teilmengen von ${}M\times N$ seien mit der durch ${}{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ induzierten ${}\sigma$- Algebra versehen. Es sei ${}S\subseteq M$. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}S$ ist eine messbare Teilmenge von ${}M$.
2. Es gibt ein ${}y\in N$ derart, dass ${}S\times \{y\}\subseteq M\times \{y\}$ messbar ist.
3. Für alle ${}y\in N$ ist ${}S\times \{y\}\subseteq M\times \{y\}$ messbar.
4. Es gibt ein ${}y\in N$ derart, dass ${}S\times \{y\}$ messbar in ${}M\times N$ ist.
5. Für alle ${}y\in N$ ist ${}S\times \{y\}$ messbar in ${}M\times N$.

Aufgabe

Es seien ${}M,N_{1},N_{2}$ Messräume und es seien ${}f_{1}\colon M\rightarrow N_{1}$ und ${}f_{2}\colon M\rightarrow N_{2}$ messbare Abbildungen. Zeige, dass auch die Abbildung

$(f_{1},f_{2})\colon M\longrightarrow N_{1}\times N_{2},\,x\longmapsto (f_{1}(x),f_{2}(x)),$

messbar ist.

Aufgabe

Zeige, dass es für jedes ${}\epsilon >0$ eine Familie ${}\epsilon _{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, von positiven reellen Zahlen mit ${}\sum _{n=0}^{\infty }\epsilon _{n}\leq \epsilon$ gibt.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ diskrete topologische Räume. Zeige, dass auch der Produktraum diskret ist.

Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ zwei topologische Räume mit abzählbarer Basis der Topologie und mit den zugehörigen ${}\sigma$- Algebren der Borelmengen ${}{\mathcal {B}}(X)$ und ${}{\mathcal {B}}(Y)$. Zeige, dass das Mengensystem der Borelmengen auf dem Produktraum ${}X\times Y$ mit dem Produkt von ${}{\mathcal {B}}(X)$ und ${}{\mathcal {B}}(Y)$ übereinstimmt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}\mathbb {R}$, der die Intervalle ${}[a,b]$, ${}a<b$, enthalte, und es sei ${}\mu$ ein äußeres Maß darauf, das auf diesen Intervallen den Wert ${}b-a$ besitze. Zeige, dass die Fortsetzung dieses äußeren Maßes auf allen abzählbaren Teilmengen von ${}\mathbb {R}$ den Wert ${}0$ besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Begründe die einzelnen Abschätzungen in der Abschätzungskette im Beweis zu Lemma 65.3.

Gehe dabei folgendermaßen vor.

1. Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile

   [[/Fortsetzung von äußerem Maß/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

   schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
2. Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort

    {{:Fortsetzung von äußerem Maß/Vergleichskette/Begründungsfenster}}

   ein.

3. Es erscheint die Abschätzungskette. Wenn Sie auf eines der Größergleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Abschätzung ein.
4. Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort

   [[Ihr Benutzername/Fortsetzung von äußerem Maß/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

   hinschreiben.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}(M_{1},d_{1})$ und ${}(M_{2},d_{2})$ metrische Räume. Zeige, dass auf der Produktmenge ${}M_{1}\times M_{2}$ durch

${}d((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))={\sqrt {d_{1}(x_{1},y_{1})^{2}+d_{2}(x_{2},y_{2})^{2}}}\,$

eine Metrik gegeben ist, und dass die dadurch definierte Topologie mit der Produkttopologie übereinstimmt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n})$ Mengen mit darauf erklärten ${}\sigma$- Algebren. Zeige, dass die Produkt-${}\sigma$- Algebra ${}{\mathcal {A}}_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}{\mathcal {A}}_{n}$ die kleinste ${}\sigma$-Algebra auf ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ ist, für die alle Projektionen messbar sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Urbild der Einheitskreisscheibe ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ unter den Inklusionsabbildungen

$\iota _{y}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,x\longmapsto (x,y).$