Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/10/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
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Punkte | 3 | 3 | 1 | 3 | 3 | 3 | 7 | 8 | 6 | 2 | 2 | 2 | 4 | 5 | 4 | 4 | 4 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Der Durchschnitt von Mengen und .
- Der Realteil einer komplexen Zahl .
- Eine beschränkte Teilmenge von reellen Zahlen.
- Der Tangens.
- Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion
- Der Kern einer linearen Abbildung
zwischen zwei -Vektorräumen und .
- Die Menge
heißt der Durchschnitt der beiden Mengen.
- Zu einer komplexen Zahl nennt man den Realteil von .
- Eine Teilmenge der reellen Zahlen heißt beschränkt, wenn es reelle Zahlen mit gibt.
- Die Funktion
heißt Tangens.
- Das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von heißt das Unterintegral von .
- Man nennt
den Kern von .
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
- Die Ableitung der reellen Exponentialfunktion.
- Der Satz über Zeilenrang und Spaltenrang.
- Ein von verschiedenes Polynom vom Grad besitzt maximal Nullstellen.
- Die Exponentialfunktion
ist differenzierbar mit
- Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.
Aufgabe (1 Punkt)
Die Weihnachtsferien begannen am 22.12.2015 (erster Ferientag) und endeten am 6.1.2016 (letzter Ferientag). Wie lange dauerten die Ferien?
Tage.
Aufgabe (3 Punkte)
Illustriere die dritte binomische Formel durch eine geeignete geometrische Figur.
Lösung Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe/Lösung
Aufgabe (3 Punkte)
Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ) stets eine Quadratzahl ist.
Eine ungerade Zahl hat die Form , die Summe der ersten ungeraden Zahlen ist also gleich
Wir behaupten, dass dies gleich ist. Für ist die Aussage richtig, da die Summe gleich ist. Es sei die Aussage nun für ein schon bewiesen. Dann ist
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass gilt.
Es gibt nur die drei sich ausschließenden Möglichkeiten
Aufgrund der Körperaxiome ist . Wir müssen also nur noch die Möglichkeit zum Widerspruch führen. Nehmen wir an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig addieren und erhält . Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält
also ist zugleich , ein Widerspruch.
Aufgabe (7 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
die einem Vierertupel das Vierertupel
zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.
Es sei das Maximum der beteiligten vier Zahlen . Wir zeigen, dass dieses Maximum nach endlich vielen Iterationen kleiner wird. Da wir uns innerhalb der natürlichen Zahlen befinden, folgt daraus, dass das Maximum irgendwann wird, was bedeutet, dass dann alle vier Zahlen sind. Da alle Zahlen aus sind und die nichtnegative Differenz genommen wird, wird das Maximum definitiv nicht größer bei einer Iteration. Allerdings kann das Maximum gleich bleiben. Dies kann aber nur dann sein, wenn ein Nachbar (zyklisch gedacht, die vierte Zahl ist also auch ein Nachbar der ersten Zahl) des Maximums gleich ist. Wir müssen (durch zyklisches Vertauschen und Spiegeln) nur noch die Situation anschauen, wo das Tupel die Form
mit hat. Wenn ist, so liefert die Abbildung
Wir müssen also nur noch die Situation anschauen, wo es höchstens zwei Nullen gibt. Bei
mit ergibt sich im nächsten Schritt
was keine Nullen mehr hat. Bei
mit ergibt sich im nächsten Schritt
Bei besitzt dies nur eine Null, bei sind wir in einem schon behandelten Fall. Es sei das Tupel jetzt
mit
Das Ergebnis ist
Bei ist dies
mit dem Folgetupel
Bei besitzt dies ein kleineres Maximum, bei ist das Folgetupel gleich
und davon ist das Folgetupel
Es sei also . Das Folgetupel ist bei gleich
und dessen Folgetupel ist
Allenfalls in der dritten Position könnte eine stehen, doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von , sodass das Folgetupel keine Null besitzt.
Das Folgetupel ist bei
gleich
und dabei ist wieder allenfalls in der dritten Position eine , stehen, doch diese ist nicht benachbart zum einzigen Vorkommen von , sodass das Folgetupel keine Null besitzt.
Aufgabe (8 (2+1+2+1+2) Punkte)
Es sei . Zu einem Startwert sei eine reelle Folge rekursiv durch
definiert. Zeige die folgenden Aussagen.
(a) Bei ist für alle und die Folge ist streng fallend.
(b) Bei ist die Folge konstant.
(c) Bei ist für alle und die Folge ist streng wachsend.
(d) Die Folge konvergiert.
(e) Der Grenzwert ist .
(a) Die Eigenschaft folgt durch Induktion, wobei die Voraussetzung unmittelbar den Induktionsanfang ergibt. Der Induktionsschluss ergibt sich mittels
Das strenge Fallen ergibt sich daraus durch
(b) Die Konstanz ergibt sich durch Induktion, wobei die Voraussetzung den Induktionsanfang sichert und der Induktionsschluss aus
folgt.
(c) Die Eigenschaft folgt durch Induktion, wobei die Voraussetzung unmittelbar den Induktionsanfang ergibt. Der Induktionsschluss ergibt sich mittels
Das strenge Wachstum ergibt sich daraus durch
(d) Nach (a), (b), (c) ist die Folge in jedem Fall monoton und beschränkt, daher konvergiert sie in .
(e) Der Grenzwert sei . Es gilt
Wir wenden die Rechenregeln für Limiten auf die Rekursionsvorschrift an und erhalten
Daraus ergibt sich .
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom vom Grad derart gibt, dass für alle ist.
Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo ist für alle für ein festes . Dann ist
ein Polynom vom Grad , das an den Stellen den Wert hat. Das Polynom
hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei den Wert . Nennen wir dieses Polynom . Dann ist
das gesuchte Polynom. An der Stelle gilt ja
für und .
Die Eindeutigkeit folgt aus Korollar 6.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)).
Aufgabe (2 Punkte)
Fridolin sagt:
„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion
gilt und . Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen und geben, also eine Zahl mit . Es ist doch aber stets .“
Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?
Die Funktion ist im Nullpunkt nicht definiert, den Zwischenwertsatz kann man nur für stetige Funktionen anwenden, die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert sind.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei
eine stetig differenzierbare Funktion, die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung einen Schnittpunkt mit der durch definierten Geraden besitzt.
Die beiden Schnittpunkte seien und mit . Es ist also und . Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es ein mit
Der Graph der Ableitung schneidet also im Punkt die beschriebene Gerade.
Aufgabe (2 Punkte)
Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis .
Nach Definition . ist
Die Ableitung nach ist aufgrund von Satz 16.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) unter Verwendung der Kettenregel gleich
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien
periodische Funktionen mit den Periodenlängen bzw. . Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.
Der Quotient der Periodenlängen sei
mit . Also ist . Wir behaupten, dass
eine Periodenlänge für ist. Dies beruht auf
für alle , da ja mit (bzw. ) auch jedes ganzzahlige Vielfache eine Periodenlänge von (bzw. von ) ist.
Aufgabe (5 Punkte)
Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu
Wir schreiben
Daher ist mit der Substitution
bzw.
Eine Stammfunktion hiervon ist
und damit ist
eine Stammfunktion von
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme den Kern der durch die Matrix
gegebenen linearen Abbildung
Wir bestimmen den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
Es ist
Damit haben wir Stufengestalt erreicht.
Wir wählen und . Dann ist nach III und nach I ist . Damit ist
Wir wählen jetzt und . Dann ist nach III und nach I ist
Damit ist
eine weitere Lösung, die von der ersten Lösung linear unabhängig ist. Da die Matrix den Rang besitzt (was aus der Stufengestalt ablesbar ist), ist der Kern zweidimensional, also ist der Kern gleich
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)
- Bestimme die invertierbaren - Matrizen über dem Körper mit zwei Elementen.
- Welche davon sind zu sich selbst invers?
- Die Matrizeneinträge sind
oder .
Wenn die kein- oder einmal vorkommt, so kommt eine Nullzeile vor und die Matrix ist nicht invertierbar. Wenn die zweimal vorkommt, so darf die nicht in der gleichen Zeile stehen. Dies ergibt die invertierbaren Matrizen
Wenn dreimal die vorkommen soll, so erhält man die invertierbaren Matrizen
Bei vier Einsen liegt eine nichtinvertierbare Matrix vor.
- Die Einheitsmatrix und die Vertauschungsmatrix sind selbstinvers. Wir rechnen
und
Somit sind auch und selbstinvers.
Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)
Es sei
- Bestimme das charakteristische Polynom zu .
- Bestimme die Eigenwerte mit Vielfachheiten von über .
- Bestimme die Eigenräume von über .
- Das charakteristische Polynom ist
- Die Nullstellenbestimmung von führt auf
das charakteristische Polynom hat also die Faktorzerlegung
Die Eigenwerte sind also , jeweils mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit .
- Der Eigenraum zum Eigenwert ist . Der Eigenraum zum Eigenwert ist der Kern von , dieser ist . Der Eigenraum zum Eigenwert ist der Kern von , dieser ist .
- Anhang
Eine Stammfunktion von ist