Lösung
- Die Abbildung
-
ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.
- Eine reelle Folge ist eine
Abbildung
-
- Man sagt, dass
stetig
im Punkt ist,wenn es zu jedem
ein
derart gibt, dass für alle mit
die Abschätzung
gilt.
- Die Funktion
-
heißt die Integralfunktion zu zum Startpunkt .
- Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung
-
nur bei für alle möglich ist.
- Der Endomorphismus heißt diagonalisierbar, wenn eine
Basis
aus
Eigenvektoren
zu besitzt.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das
Majorantenkriterium
für eine Reihe von reellen Zahlen.
- Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.
- Der Satz über die Beziehung zwischen Eigenschaften von linearen Abbildungen und Matrizen.
Lösung
Wir betrachten den Satz „Kein Mensch ist illegal“. Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
Lösung
Es gibt einen Menschen, der nicht legal ist.
a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
mit
-
b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
mit
-
c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen
und eine rationale Zahl
mit
-
Lösung
a) Es ist
-
daher ist
-
und diese Zahlen sind rational und aus dem offenen Einheitsintervall.
b) Wir nehmen
und
und
.
Die Summe ist
-
c) Wir setzen
-
diese Zahl ist irrational, da irrational ist. Es gilt
-
Mit
ist also ein Beispiel der gewünschten Art gefunden.
Lösung
a) Die ganze Prozentzahl wird bei Ja-Antworten von Zuschauern bei der angegebenen Rundung durch
-
berechnet.
b) Für ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht surjektiv. Sie ist injektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person größer als ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um mindestens erhöht. Für ist die Abbildung die Identität, also injektiv und surjektiv. Für ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht injektiv. Sie ist surjektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person weniger als ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um höchstens erhöht.
c) Die Prozentzahl kommt nicht vor. Für ist das Ergebnis
-
(wegen
)
und für ist das Ergebnis
-
(wegen
).
d) Die Prozentzahl kommt doppelt vor. Für ist das Ergebnis
-
(wegen
)
und für ist das Ergebnis
-
(wegen
).
e) Die Prozentzahl kommt doppelt vor. Für ist das Ergebnis
-
(wegen
)
und für ist das Ergebnis ebenfalls
-
(wegen
).
Wegen der Symmetrie der Situation
(bis auf die Rundung)
kommt auch die Prozentzahl doppelt vor, für .
Berechne
-
Lösung
Es ist
Lösung
Es ist
-
Bei ist somit
-
und bei
ist
-
Daher ist stets
-
Für ein vorgegebenes gibt es aufgrund der Konvergenz der beiden äußeren Folgen gegen natürliche Zahlen
und
derart, dass
-
für und
-
für gilt. Für gilt daher
-
Dies bedeutet die Konvergenz von gegen .
Die Folge sei durch
-
definiert.
- Bestimme und .
- Konvergiert die Folge in ?
Lösung
- Es ist
,
da keine Primzahl ist, und
,
da eine Primzahl ist.
- Die Folge konvergiert nicht, da sie unendlich oft den Wert und unendlich oft den Wert annimmt, da es unendlich viele Primzahlen gibt und da es unendlich viele Zahlen
(beispielsweise die geraden Zahlen )
gibt, die keine Primzahlen sind.
Berechne
-
Lösung
Es ist
Es sei und seien
-
stetige Funktionen mit
-
Zeige, dass es ein derart gibt, dass
-
für alle gilt.
Lösung
Sei
-
Da
und
stetig sind, gibt es zu
-
positive Zahlen
bzw.
derart, dass aus die Abschätzung und aus die Abschätzung folgt. Mit
-
gilt somit für jedes die Abschätzung
-
Wir betrachten die Funktion
-
a) Bestimme die
Ableitung
.
b) Bestimme die zweite Ableitung .
Lösung
- Die erste Ableitung ist
-
- Die zweite Ableitung ist nach der Quotientenregel gleich
Man gebe ein Beispiel einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion
-
mit der Eigenschaft, dass die Funktion differenzierbar ist.
Lösung
Beweise den Satz über die Ableitung und das Wachstumsverhalten einer Funktion
.
Lösung
(1). Es genügt, die Aussagen für wachsende Funktionen zu beweisen. Wenn wachsend ist, und
ist, so gilt für den
Differenzenquotienten
-
für jedes mit
.
Diese Abschätzung gilt dann auch für den Grenzwert für , und dieser ist .
Es sei umgekehrt die Ableitung .
Nehmen wir an, dass es zwei Punkte
in mit
gibt. Aufgrund des
Mittelwertsatzes
gibt es dann ein mit
mit
-
im Widerspruch zur Voraussetzung.
(2). Es sei nun
mit nur endlich vielen Ausnahmen.
Angenommen es wäre
für zwei Punkte
. Da nach dem ersten Teil wachsend ist, ist auf dem Intervall konstant. Somit ist
auf diesem gesamten Intervall, ein Widerspruch dazu, dass nur endlich viele Nullstellen besitzt.
Bestimme das
Taylor-Polynom
der Ordnung zur Funktion
-
im Entwicklungspunkt
.
Lösung
Es ist
-
Es ist
-
und daher ist
-
Es ist
-
und daher ist
-
Es ist
-
und daher ist
-
Das Taylor-Polynom vom Grad in ist somit
-
Lösung
Inwiefern hat das Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit dem Induktionsprinzip zu tun?
Lösung Eliminationsverfahren/Induktionsprinzip/Aufgabe/Lösung
Es sei ein
Körper
und ein
-
Vektorraum. Es seien
und
.
Zeige
-
Lösung
Wir beweisen die Aussage durch eine Doppelinduktion über . Die Fälle
-
sind unmittelbar klar bzw. folgen direkt aus den Axiomen für einen Vektorraum.
Die Aussage für
und beliebige beweisen für durch Induktion nach , wobei der Induktionsanfang durch die Vorbemerkung gesichert ist. Es sei die Aussage für ein schon bewiesen, und seien Vektoren gegeben. Dann ist unter Verwendung des Falles und der Induktionsvoraussetzung
Wir betrachten nun die Aussage für ein festes und beliebige . Für
ist diese Aussage bereits bewiesen. Es sei diese Aussage nun für ein festes schon bewiesen Es seien Skalare und Vektoren gegeben. Dann ist unter Verwendung der Fälle
und der Induktionsvoraussetzung
Es sei
ein
Untervektorraum.
Zeige, dass eine
Basis
aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.
Lösung
Es sei eine Basis von . Jeder dieser Basisvektoren hat die Form
-
mit rationalen Zahlen
-
mit ganzen Zahlen und
.
Es sei
-
Dann besitzt
-
ganzzahlige Einträge. Wir ersetzen nun jeden Basisvektor durch ein solches Vielfaches , deren Einträge ganzzahlig sind. Da man aus dieser neuen Familie die ursprüngliche Basis durch skalare Multiplikation zurückgewinnen kann, liegt ein Erzeugendensystem von vor, und da die Anzahl gleich der Dimension ist, handelt es sich um eine Basis.
Lösung