Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/2/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 3 2 4 3 4 3 3 6 5 5 4 2 3 8 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Betrag einer reellen Zahl.
  2. Eine Cauchy-Folge in .
  3. Der natürliche Logarithmus
  4. Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
  5. Der von einer Familie von Vektoren , aus einem -Vektorraum aufgespannte Untervektorraum.
  6. Die Determinante eines Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen Vektorraum .


Lösung

  1. Für eine reelle Zahl ist der Betrag folgendermaßen definiert.
  2. Eine reelle Folge heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  3. Der natürliche Logarithmus

    ist als die Umkehrfunktion der reellen Exponentialfunktion definiert.

  4. Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu über heißt bestimmtes Integral.
  5. Man nennt

    den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.

  6. Die Abbildung werde bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben. Dann nennt man

    die Determinante der linearen Abbildung .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms .
  2. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung

    in einem Punkt

    .
  3. Der Satz über die Ableitung in einem Extremum.


Lösung

  1. Ein Element ist genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.
  2. Für sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. ist stetig im Punkt .
    2. Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .
  3. Es sei

    eine Funktion, die in ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist

    .


Aufgabe (3 Punkte)

Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen.

  1. „Du hast dich schon am ersten Tag voll daneben benommen. Seitdem ist es von jedem Tag zum nächsten Tag nur noch schlimmer geworden. Du wirst Dich also immer völlig daneben benehmen“.
  2. „Wenn ich mit Dir zusammenbleiben würde, so würde ich irgendwann als eine traurige, gelangweilte, vom Leben enttäuschte Person enden, das möchte ich aber auf gar keinen Fall“.
  3. „Also, wenn Du mich nicht liebst, will ich Dich sowieso nicht. Wenn Du mich aber liebst, so komme ich zu dem Schluss, dass Du dein Verhalten mit Deinen Gefühlen nicht zur Deckung bringen kannst. Dann bist Du also unreif und dann will ich Dich auch nicht“.

Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?


Lösung

  1. Induktionsbeweis.
  2. Beweis durch Widerspruch.
  3. Beweis durch Fallunterscheidung.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei . Zeige, wie man mit vier Multiplikationen berechnen kann.


Lösung

Sei

und

Dann ist

eine Berechnung mit vier Multiplikationen.


Aufgabe (4 Punkte)

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das zu einer vorgegebenen natürlichen Zahl entscheidet, ob gerade oder ungerade ist.

    • Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die natürliche Zahlen enthalten können.
    • Er kann einen Speicher leeren.
    • Er kann einen Speicherinhalt um erhöhen.
    • Er kann zu einem bestimmten Befehl springen.
    • Er kann Speicherinhalte miteinander vergleichen und abhängig davon zu einem bestimmten Befehl springen.
    • Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.
    • Es gibt einen Haltebefehl.

    Die Anfangskonfiguration sei

    Das Programm soll „ ist gerade“ oder „ ist ungerade“ ausdrucken und anschließend anhalten.


    Lösung

    1. Vergleiche den ersten Speicherinhalt mit dem vierten Speicherinhalt. Wenn der erste Speicherinhalt gleich dem vierten Speicherinhalt ist, so gehe zu Befehl 8 (sonst weiter).
    2. Erhöhe den vierten Speicher um 1.
    3. Vergleiche den zweiten Speicherinhalt mit dem dritten Speicherinhalt. Wenn diese gleich sind, so gehe zu Befehl 4. Wenn diese verschieden sind, so gehe zu Befehl 6.
    4. Erhöhe den dritten Speicher um 1.
    5. Gehe zu Befehl 1.
    6. Leere den dritten Speicher.
    7. Gehe zu Befehl 1.
    8. Vergleiche den zweiten Speicherinhalt mit dem dritten Speicherinhalt. Wenn diese gleich sind, so gehe zu Befehl 9. Wenn diese verschieden sind, so gehe zu Befehl 11.
    9. Drucke den ersten Speicherinhalt und „ist gerade“ aus.
    10. Halte an.
    11. Drucke den ersten Speicherinhalt und „ist ungerade“ aus.
    12. Halte an.


    Aufgabe (3 Punkte)

    Zeige durch vollständige Induktion, dass für jedes die Zahl

    ein Vielfaches von ist.


    Lösung

    Induktionsanfang. Für ist

    ein Vielfaches von . Induktionsschritt. Sei nun die Aussage für bewiesen und betrachten wir den Ausdruck für . Dieser ist

    wobei im vorletzten Schritt die Induktionsvoraussetzung verwendet wurde (nämlich die Eigenschaft, dass ein Vielfaches von ist). Daher ist diese Zahl ein Vielfaches von .


    Aufgabe (4 Punkte)

    Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.


    Lösung

    Wenn ein Vielfaches von ist, so kann man

    mit einem weiteren Polynom schreiben. Einsetzen ergibt

    Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

    wobei oder aber den Grad besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

    Wenn also ist, so muss der Rest sein, und das bedeutet, dass ist.


    Aufgabe (3 Punkte)

    Entscheide, ob die Folge

    in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


    Lösung

    Für kann man die Folge (durch Erweiterung mit ) als

    schreiben. Folgen vom Typ und sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen und der Nenner gegen , so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen konvergiert.


    Aufgabe (3 Punkte)

    Beweise, dass eine absolut konvergente Reihe reeller Zahlen konvergiert.


    Lösung

    Es sei vorgegeben. Wir wenden das Cauchy-Kriterium an. Aufgrund der absoluten Konvergenz gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

    gilt. Daher ist

    was die Konvergenz bedeutet.


    Aufgabe (6 (4+2) Punkte)

    Wir betrachten die Funktion

    a) Zeige, dass eine stetige Bijektion zwischen und definiert.

    b) Bestimme das Urbild von unter sowie und . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion an.


    Lösung

    a) Die Funktion ist differenzierbar und die Ableitung ist

    Für sind diese beiden Summanden positiv, so dass die Ableitung stets positiv ist und daher streng wachsend ist. Daher ist die Abbildung injektiv. Die Funktion ist stetig, da sie differenzierbar ist. Daher genügt es für die Surjektivität, aufgrund des Zwischenwertsatzes, nachzuweisen, dass beliebig große und beliebig kleine Werte angenommen werden.

    Für ist und daher

    Da der Logarithmus für beliebig kleine Werte annimmt, gilt das auch für .

    Für ist und daher

    Da der Logarithmus für beliebig große Werte annimmt, gilt das auch für .

    b) Durch Einsetzen ergibt sich , also ist das Urbild von . Aufgrund der Berechnung der Ableitung oben ist

    Aufgrund der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt daher


    Aufgabe (5 Punkte)

    Beweise den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.


    Lösung

    Wir betrachten den Differenzenquotienten

    und müssen zeigen, dass der Limes für existiert und den behaupteten Wert annimmt. Sei dazu eine Folge in , die gegen konvergiert. Nach Satz 11.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist stetig. Daher konvergiert auch die Folge mit den Gliedern gegen . Wegen der Bijektivität ist für alle . Damit ist

    wobei die rechte Seite nach Voraussetzung existiert und die zweite Gleichheit auf Lemma 8.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))  (5) beruht.


    Aufgabe (5 Punkte)

    Betrachte die Funktion

    Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.


    Lösung

    Da die Exponentialfunktion keine Nullstelle besitzt, liegt nur bei , also bei eine Nullstelle vor. Unterhalb davon ist die Funktion negativ, oberhalb davon positiv.

    Zur Bestimmung der lokalen Extrema leiten wir ab, was zu

    führt. Die Nullstellenbestimmung der Ableitung führt auf

    Quadratisches Ergänzen führt zu

    bzw.

    Also ist

    und somit

    Für ist die Ableitung negativ, für mit ist sie positiv und für wieder negativ. Daher ist die Funktion unterhalb von streng fallend, zwischen und streng wachsend und oberhalb von wieder streng fallend. Daher liegt in ein isoliertes lokales Minimum und in ein isoliertes lokales Maximum vor. Da es sonst keine lokalen Extrema gibt, und die Funktion für wächst, aber negativ bleibt, und für fällt, aber positiv bleibt, sind dies auch globale Extrema.


    Aufgabe (4 Punkte)

    Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion im Punkt bis zur Ordnung (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).


    Lösung

    Die erste Ableitung ist

    Die zweite Ableitung ist

    Die dritte Ableitung ist
    Die vierte Ableitung ist

    Das Taylor-Polynom vom Grad ist demnach

    bzw.


    Aufgabe (2 Punkte)

    Berechne das bestimmte Integral zur Funktion

    über .


    Lösung

    Eine Stammfunktion ist
    Daher ist das bestimmte Integral gleich


    Aufgabe (3 Punkte)

    Drücke in den Vektor

    als Linearkombination der Vektoren

    aus.


    Lösung

    Es geht darum, das lineare Gleichungssystem

    zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der dritten Gleichung die Variable aus der ersten Gleichung. Das resultierende System ist ()

    Wir eliminieren nun aus mittels die Variable , das ergibt ()

    Wir können jetzt dieses System lösen. Es ist

    und

    Also ist


    Aufgabe (8 Punkte)

    Es sei ein Vektorraum und

    eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt (d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor).


    Lösung

    Die Familie sei zunächst eine Basis. Dann ist sie insbesondere ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir , aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere als Linearkombination der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte

    Dann ist aber

    eine nichttriviale Darstellung der , im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie.

    Sei nun die Familie ein minimales Erzeugendensystem. Um zu zeigen, dass eine Basis vorliegt, muss also lediglich gezeigt werden, dass die Familie linear unabhängig ist. Nehmen wir an, sie sei nicht linear unabhängig. Dann gibt es eine Darstellung

    wobei mindestens ein Koeffizient ist. Wir behaupten, dass dann auch die um reduzierte Familie noch ein Erzeugendensystem ist im Widerspruch zur Minimalität. Dazu sei ein beliebiger Vektor, den man als

    schreiben kann. Wir können schreiben als

    Damit ist

    woraus ablesbar ist, dass man auch als Linearkombination der darstellen kann.


    Aufgabe (3 Punkte)

    Bestimme, für welche die Matrix

    invertierbar ist.


    Lösung

    Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ist. Die Determinante der Matrix ist

    Dies ist gleich bei oder bei . Diese quadratische Gleichung ist äquivalent zu bzw. zu

    Also ist

    und damit

    Die einzigen komplexen Zahlen, bei denen die Matrix nicht invertierbar ist, sind also