Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/20/Klausur mit Lösungen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 1 2 2 4 1 2 4 4 6 7 7 4 1 3 6 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Eine Verknüpfung auf einer Menge .
  3. Die geometrische Reihe für .
  4. Die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt .

  5. Das Oberintegral einer nach oben beschränkten Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  6. Das charakteristische Polynom zu einer -Matrix mit Einträgen in einem Körper .


Lösung

  1. Man nennt die Menge

    die Produktmenge der Mengen und .

  2. Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung
  3. Die Reihe
    heißt die geometrische Reihe in .
  4. Man sagt, dass stetig im Punkt ist,wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.
  5. Das Oberintegral ist definiert als das Infimum von sämtlichen Obersummen von oberen Treppenfunktionen von .
  6. Das Polynom

    heißt charakteristisches Polynom von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das Verhalten der Reihenglieder bei Konvergenz.
  2. Das Ableitungskriterium für konstante Funktionen.
  3. Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


Lösung

  1. Es sei

    eine konvergente Reihe von reellen Zahlen. Dann ist

  2. Sei

    eine differenzierbare Funktion mit für alle .

    Dann ist konstant.
  3. Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und
    sei eine -lineare Abbildung. Dann ist injektiv genau dann, wenn ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w f
w f f
f w w
f f w


Lösung

.


Aufgabe (2 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.


Lösung

Mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion werden Aussagen bewiesen, die von den natürlichen Zahlen abhängen. Man beweist zuerst die Aussage . Ferner zeigt man, dass man für alle aus der Gültigkeit von auf die Gültigkeit von schließen kann. Daraus folgt die Gültigkeit von für alle .


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

in auch Lösungen besitzt.


Lösung

Beispielsweise ist


Aufgabe (4 Punkte)

Mustafa Müller schreibt die natürlichen Zahlen

hintereinander auf. Wie oft kommt dabei die Ziffern vor? Wie viele Kommata setzt er?


Lösung

Er setzt Kommata. Wir überlegen uns, wie die Anzahl der Ziffern ist, wenn er jede dreistellige Zifferenkombination mit hinschreiben würde. Davon gibt es Möglichkeiten, die den hingeschriebenen Zahlen (bis auf die ) entsprechen, wenn man die Zahlen vorne durch Nullen auffüllt. Insgesamt kommen Ziffern vor und jede Ziffer kommt gleich oft, also Mal vor. Deshalb kommen die Ziffern in der Mülleraufzählung hundert Mal vor und die kommt (wegen der ) genau Mal vor. Die kommt aber in der Mülleraufzählung weniger oft vor, und zwar muss man Nullen für die einstelligen Zahlen und Nullen für die zweistelligen Zahlen abziehen. Deshalb kommt die in der Mülleraufzählung Mal vor.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

und

über .


Lösung

Es soll einerseits

und andererseits

sein. Wegen

ist das nicht gleichzeitig erfüllbar, die Lösungsmenge ist also leer.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien Mengen und und injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls injektiv ist.


Lösung

Seien mit

gegeben. Aufgrund der Injektivität von folgt

und aufgrund der Injektivität von folgt

was die Injektivität von bedeutet.


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert und die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert .

  1. Berechne und .
  2. Berechne und .
  3. Berechne und .
  4. Konvergiert die Produktfolge innerhalb der rationalen Zahlen?


Lösung

  1. Es ist

    und

  2. Es ist

    und

  3. Es ist

    und

  4. Die Heron-Folge konvergiert in gegen und die Heron-Folge konvergiert in gegen , daher konvergiert die Produktfolge gegen . Da dies zu gehört, konvergiert die Produktfolge auch in .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige die Abschätzung


Lösung

Es sei die größte natürliche Zahl mit . Die Folge ist fallend, deshalb können wir Glieder durch vorhergehende Glieder nach oben abschätzen. Wir erhalten


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei

ein Polynom vom Grad , ein Punkt und die Tangente an im Punkt . Zeige die Beziehung

mit einem Polynom vom Grad .


Lösung

Es ist

Wir schreiben

mit . Somit ist

Daher ist

Für den rechten Faktor gilt

Die einzelnen Summanden (ohne die Koeffizienten ) haben die Form

Hier kann man also nochmal einen Faktor ausklammern.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.


Lösung

Unter den Voraussetzungen wird die Taylor-Formel zu

mit (abhängig von ) zwischen und . Je nachdem, ob oder ist, gilt auch (wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der -ten Ableitung) bzw. für für ein geeignetes . Für diese ist auch , so dass das Vorzeichen von vom Vorzeichen von abhängt.
Bei gerade ist ungerade und daher wechselt das Vorzeichen bei (bei ist das Vorzeichen negativ und bei ist es positiv). Da das Vorzeichen von sich nicht ändert, ändert sich das Vorzeichen von . Das bedeutet, dass kein Extremum vorliegen kann.
Sei nun ungerade. Dann ist gerade, so dass für alle in der Umgebung ist. Das bedeutet in der Umgebung bei , dass ist und in ein isoliertes Minimum vorliegt, und bei , dass ist und in ein isoliertes Maximum vorliegt.


Aufgabe (7 (1+1+5) Punkte)

  1. Man gebe ein Beispiel für eine Gerade, die den Graphen der Exponentialfunktion in keinem Punkt schneidet.
  2. Man gebe ein Beispiel für eine Gerade, die den Graphen der Exponentialfunktion in genau einem Punkt schneidet.
  3. Zeige, dass jede Gerade den Graphen der Exponentialfunktion in höchstens zwei Punkten schneidet.


Lösung

  1. Da die Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt, schneidet ihr Graph die -Achse nicht.
  2. Der Graph der Exponentialfunktion schneidet (wie jeder Graph) die -Achse in genau einem Punkt.
  3. Wenn die Gerade parallel zur -Achse ist, so gibt es nur einen Schnittpunkt. Sei also die Gerade der Graph einer affin-linearen Funktion . Wir betrachten

    die Schnittpunkte der Graphen von und sind die Nullstellen von . Wir behaupten also, dass höchstens zwei Nullstellen besitzt. Es ist

    und dies hat (wegen der strengen Monotonie von ) höchstens eine Nullstelle. Betrachten wir zuerst den Fall, dass eine Nullstelle besitzt. Unterhalb dieser Nullstelle ist negativ und oberhalb davon positiv. D.h. nach Satz 15.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)), dass unterhalb von streng fallend und oberhalb von streng wachsend ist. Daher gibt es in diesen beiden Bereichen jeweils höchstens eine Nullstelle. Wenn keine Nullstelle besitzt, so ist überall positiv und daher ist streng wachsend und besitzt höchstens eine Nullstelle.


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

  1. Überführe die Matrixgleichung

    in ein lineares Gleichungssystem.

  2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.


Lösung

  1. Die einzelnen Einträge der Matrixgleichung ergeben das lineare Gleichungssystem
  2. Aus der ersten und der zweiten Gleichung ergibt sich mittels die Bedingung

    und somit

    Daher ist

    Aus der dritten und der vierten Gleichung ergibt sich mittels die Bedingung

    und somit

    Daher ist


Aufgabe (1 Punkt)

Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.


Lösung

Die Standardbasis , , besteht aus Vektoren, also ist die Dimension .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum und sei eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn es einen Untervektorraum gibt, für den die Familie eine Basis bildet.


Lösung

Wenn die Familie in eine Basis bildet, so ist sie linear unabhängig (in und in ). Wenn die Familie linear unabhängig ist, so betrachten wir den durch sie erzeugten Untervektorraum

Diese linear unabhängige Familie ist somit ein Erzeugendensystem von und daher eine Basis von .


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei

eine invertierbare Matrix. Zeige durch zwei Matrizenmultiplikationen, dass

ist.


Lösung

Es ist

In der Diagonalen steht immer der gleiche Eintrag, nämlich

Mit dem Vorfaktor ergibt sich also bei Multiplikation die Einheitsmatrix.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Lösung

Aus der Matrix kann man direkt die drei Eigenwerte ablesen. Daher ist die Matrix diagonalisierbar und die Eigenräume sind eindimensional.

Es ist

und der zugehörige Eigenraum ist

Es ist

es ist ein Element des Kernes und somit ist der zugehörige Eigenraum

Es ist

es ist ein Element des Kernes und somit ist der zugehörige Eigenraum