Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/9/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	8	2	6	4	2	1	4	6	3	8	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine homogene lineare eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung.
2. Eine Orthonormalbasis in einem euklidischen Vektorraum ${}V$.
3. Eine differenzierbare Kurve

   $\gamma \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   auf einem reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

4. Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
5. Ein Minkowski-Raum.
6. Ein ${}C^{k}$-Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen ${}U_{1}\subseteq V_{1}$ und ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ in euklidischen Vektorräumen ${}V_{1},V_{2}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit in einem Punkt ${}x\in L$ zu einer Abbildung

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   zwischen metrischen Räumen

   ${}L$ und ${}M$.
2. Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld

   $F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   gegebenes Anfangswertproblem.
3. Der Satz über Gradientenfelder auf einer sternförmigen Menge.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$. Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die ${}f$ eine Lösung ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

${\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen in einem metrischen Raum mit konvergenten Folgen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beschreibe (ohne weitere Begründung) den Lauf des Sekundenzeigers einer Uhr als eine differenzierbare Kurve auf dem Einheitskreis (der Zeiger soll also im Zeitintervall ${}[0,60]$ eine Runde im Uhrzeigersinn drehen und zum Zeitpunkt ${}0$ „oben“ starten).

Aufgabe * (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven Abbildung

$\varphi \colon [0,1]\longrightarrow [0,1]\subseteq \mathbb {R} ,$

die rektifizierbar ist, deren Länge aber ${}>1$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'=ty+1{\text{ mit }}y(0)=0$

durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung ${}5$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem ${}K^{2}$ bezüglich der Standardbasis.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{2},$

die Richtungsableitung in Richtung ${}3$ für jeden Punkt.

Aufgabe * (4 (1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$(x,y)\mapsto \varphi (x,y)=x^{y}.$

1. Was ist der Definitionsbereich ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ dieser Abbildung?
2. Berechne die Jacobi-Matrix von ${}\varphi$ in jedem Punkt ${}P\in G$.
3. Ist die Funktion total differenzierbar?

Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)

Prof. Knopfloch, Dr. Eisenbeis und Vorli machen Urlaub in den Bergen. Das Gebirge wird in einer geeigneten Umgebung durch die Funktion (alles in Meter)

${}f(x,y)=3000-{\frac {1}{1000}}x^{2}-{\frac {1}{1000}}y^{2}+{\frac {1}{100}}x\,$

beschrieben.

1. In welchem Punkt (welchen Punkten) besitzt das Gebirge einen Gipfel? Wie hoch ist es in den Gipfeln?
2. Vorli hat Höhenangst und möchte nicht auf den Gipfel. Deshalb wählen sie einen Rundgang, der zum Punkt ${}(0,0)$ konstant den Grundabstand ${}1000$ besitzt. Bestimme die größte und die niedrigste Höhe, die die drei auf ihrer Wanderung erreichen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale reelle Vektorräume, ${}U\subseteq V$ und ${}U'\subseteq W$ offene Teilmengen und

$\varphi \colon U\longrightarrow U'$

ein Diffeomorphismus. Es sei

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,x)\longmapsto F(t,x),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei ${}G$ das durch

${}G(t,y):={\left(D\varphi \right)}_{\varphi ^{-1}(y)}{\left(F(t,\varphi ^{-1}(y))\right)}\,$

definierte Vektorfeld auf ${}U'$. Zeige, dass

$\alpha \colon J\longrightarrow U$

genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems

$x'=F(t,x){\text{ mit }}x(t_{0})=x_{0},$

wenn ${}\varphi \circ \alpha$ eine Lösung des Anfangswertproblems

$y'=G(t,y){\text{ mit }}y(t_{0})=\varphi (x_{0})$

ist.

Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(v)v,$

ein zeitunabhängiges Zentralfeld zur stetig differenzierbaren Funktion

$g\colon V\longrightarrow \mathbb {R} .$

a) Zeige, dass das Wegintegral dieses Vektorfeldes längs eines stetig-differenzierbaren Weges, der zum Nullpunkt einen konstanten Abstand besitzt, gleich ${}0$ ist.

b) Zeige, dass ${}F$ genau dann ein Gradientenfeld ist, wenn es eine stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}g(v)=f(\Vert {v}\Vert )\,$

gibt.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von ${}3\times 3$ Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von ${}5$ Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen.

a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht?

b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt?

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Schwerpunkt des positiven Viertels des Einheitskreises, also von

${}T={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1,\,x,y\geq 0\right\}}\,.$