Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 43



Aufwärmaufgaben

Es sei eine quadratische -Matrix über . Es sei eine Lösung der linearen Differentialgleichung

und eine Lösung der linearen Differentialgleichung

Zeige, dass eine Lösung der linearen Differentialgleichung

ist.


Es sei

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, sei der Lösungsraum dieses Systems und sei . Zeige, dass die Abbildung

ein Vektorraum-Isomorphismus ist.


Wie transformieren sich in Lemma 43.5 die Anfangsbedingungen?


Löse das lineare Anfangswertproblem


Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem


a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung


a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung .


Löse das lineare Anfangswertproblem


Es sei eine (variable) -Matrix, deren Einträge Funktionen

seien. Es sei ein Eigenvektor zum Eigenwert für alle . Zeige, dass eine Lösung der linearen Differentialgleichung ist.


Es sei eine (variable) -Matrix, deren Einträge stetige Funktionen

seien. Es sei ein (konstanter) Eigenvektor von zum (variablen, von differenzierbar abhängigen) Eigenwert . Zeige durch ein Beispiel, dass keine Lösung der linearen Differentialgleichung sein muss.


Es sei

eine (variable) -Matrix, deren Einträge stetige Funktionen

seien. Es sei ein (variabler, von differenzierbar abhängiger) Eigenvektor von zum konstanten Eigenwert . Zeige durch ein Beispiel, dass keine Lösung der linearen Differentialgleichung sein muss.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei . Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die allgemeine Lösung des linearen Differentialgleichungssystems




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