Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 14/kontrolle



Übungsaufgaben

Skizziere das Steigungsdreieck und die Sekante zur Funktion

in den Punkten und .



Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

in einem beliebigen Punkt .



Aufgabe * Aufgabe 14.3 ändern

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.



Es sei eine gerade Funktion, die im Punkt differenzierbar sei. Zeige, dass auch im Punkt differenzierbar ist und dass die Beziehung

gilt.


Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.


Bestimme die Ableitung der Funktion

für jedes .



Zeige, dass ein Polynom genau dann einen Grad besitzt (oder ist), wenn die -te Ableitung von das Nullpolynom ist.



Bestimme zu einem Polynom

die lineare Approximation (einschließlich der Restfunktion ) im Nullpunkt.



Zeige über eine Betrachtung von Funktionslimiten, dass eine in einem Punkt differenzierbare Funktion in diesem Punkt insbesondere stetig ist.



Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.



Man verwende die Definition über den Funktionslimes der Differenzenquotienten. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion hilft.




Bestimme die Ableitung der Funktion

für jedes .



Bestimme die Ableitung der Funktion



Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.



Es seien

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über die Beziehung



Es sei und . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung direkt und mittels der Kettenregel.



Es seien

zwei differenzierbare Funktionen und sei

a) Drücke die Ableitung mit den Ableitungen von und aus.

b) Es sei nun

Berechne auf zwei verschiedene Arten, einerseits über und andererseits über die Formel aus Teil a).



Bestimme die Ableitung der Funktion

 für jedes .



Es sei

eine bijektive differenzierbare Funktion mit für alle und der Umkehrfunktion . Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?

Es ist

Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung

Also ist



Man gebe ein Beispiel einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion

mit der Eigenschaft, dass die Funktion differenzierbar ist.




Aufgaben zum Abgeben

Bestimme die affin-lineare Abbildung

deren Graph durch die beiden Punkte und verläuft.



Es sei eine ungerade differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Ableitung gerade ist.



Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 14.23 ändern

Es sei eine Teilmenge und seien

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel



Bestimme die Tangenten an den Graphen zur Funktion , die parallel zu sind.



Bestimme die Ableitung der Funktion

wobei die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.



Es sei und und es sei die Hintereinanderschaltung.

  1. Berechne (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
  2. Berechne die Ableitung von mit Hilfe von Teil 1.
  3. Berechne die Ableitung von mit Hilfe der Kettenregel.




Die Aufgabe zum Aufgeben

Lösungen zu der folgenden Aufgabe bis 16. Januar (unabhängig von Deckelregel).


Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl eine streng wachsende stetige Funktion

derart gibt, dass die einzige Nullstelle von ist und dass für jede rationale Zahl auch rational ist.